Эксцесс сферического треугольника , или сферический избыток , — величина в сферической тригонометрии , показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол .

Определение

Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс

${\displaystyle \varepsilon =A+B+C-\pi }$

Свойства и вычисление

• Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числа ^:15 .
• Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула Люилье ^:94 :

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\varepsilon }{4}}={\sqrt {\operatorname {tg} {\frac {p}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-a}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-b}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-c}{2}}}},p={\frac {a+b+c}{2}}}$

• Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формула ^:95 :

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\varepsilon }{2}}={\frac {\operatorname {ctg} {\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {b}{2}}+\cos C}{\sin C}}}$

Применение

• Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку ${\displaystyle S=R^{2}\varepsilon }$ (здесь ${\displaystyle R}$ — радиус сферы, на которой расположен сферический треугольник, а эксцесс выражен в радианах) ^:99 .
• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы ${\displaystyle \theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}}$ при вершине, как:

${\displaystyle \Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}$ , где ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$ — полупериметр.

Через двугранные углы ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ телесный угол выражается, как:

${\displaystyle \Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi }$

Примечания

Ссылки

• Сферический избыток — статья из Большой советской энциклопедии .
• на сайте MathWorld