Дедеки́ндово сече́ние — один из способов построения вещественных чисел из рациональных .

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения .

История

Метод был введён в 1872 году Рихардом Дедекиндом .

Аналогичное построение для геометрических величин неявно присутствует в «Началах» Евклида , а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом:

Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12). .

Близкие идеи опубликовал в 1849 году французский математик Жозеф Бертран .

Определение

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ на два подмножества ${\displaystyle A}$ (нижнее, или левое) и ${\displaystyle B}$ (верхнее, или правое) такие, что :

1. ${\displaystyle a<b}$ для любых ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ ,
2. ${\displaystyle B}$ не имеет наименьшего элемента.

Далее дедекиндово сечение обозначается ${\displaystyle (A,B)}$ (хотя было бы достаточно указать одно из этих множеств, второе дополняет его до ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ).

Если множество ${\displaystyle A}$ имеет наибольший элемент, то дедекиндово сечение можно отождествить с этим рациональным числом. В противном случае сечение определяет иррациональное число , которое больше всех чисел множества ${\displaystyle A}$ и меньше всех чисел множества ${\displaystyle B}$ . Определив на полученном множестве сечений арифметические операции и порядок , мы получаем поле вещественных чисел , причём каждое сечение определяет одно и только одно вещественное число.

Пример

Вещественному числу ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ соответствует дедекиндово сечение, для которого :

множество ${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {Q} \mid x<0\lor x^{2}<2\}.}$

множество ${\displaystyle B=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\land x^{2}>2\};}$

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , мы рассекли множество на две части: все числа, что левее ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , и все числа, что правее ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ; соответственно, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ равен точной нижней грани множества ${\displaystyle B}$ .

Упорядоченность дедекиндовых сечений

Введём во множестве сечений порядок. Сначала определим, что два сечения ${\displaystyle (A,B)}$ и ${\displaystyle (C,D)}$ равны, если ${\displaystyle A=C}$ (тогда и ${\displaystyle B=D}$ ). Далее определим :

${\displaystyle (A,B)<(C,D)}$ , если ${\displaystyle A\subset C}$ и при этом ${\displaystyle A\neq C.}$

Нетрудно проверить, что все требования линейного порядка выполнены. Кроме того, для рациональных чисел новый порядок совпадает со старым.

Из данного определения порядка следует:

Теорема о приближении . Любое вещественное число может быть с любой точностью приближено рациональными числами, то есть может быть заключено в интервал с рациональными границами произвольно малой длины .

Арифметика дедекиндовых сечений

Для определения арифметических действий с сечениями можно воспользоваться сформулированной в предыдущем разделе теоремой о приближении.

Пусть ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ — вещественные числа. Согласно теореме о приближении, для них можно указать интервалы-приближения с рациональными границами:

${\displaystyle a_{1}<\alpha <a_{2}\quad b_{1}<\beta <b_{2}.}$

Тогда суммой ${\displaystyle \alpha +\beta }$ называется вещественное число, содержащееся во всех интервалах вида ${\displaystyle (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}).}$ Сумма вещественных чисел всегда существует, однозначно определена и для рациональных чисел совпадает с прежним определением суммы. Вычитание всегда возможно, поэтому относительно так определённой операции сложения вещественные числа образуют аддитивную группу .

Аналогично определяется умножение вещественных чисел, которое вместе со сложением превращает множество вещественных чисел в упорядоченное поле .

Вариации и обобщения

См. также:

Дедекиндовы сечения можно аналогично определить не только для рациональных чисел, но и в любом другом линейно упорядоченном множестве . См. . Можно показать, что применение этой процедуры к множеству вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ даёт снова ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Аналог дедекиндовых сечений используется для построения сюрреальных чисел .

См. также

• Конструктивные способы определения вещественного числа

Примечания

Литература

• Кудрявцев Л. Д. Дедекиндово сечение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — С. 65. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М. : Наука, 1966. — Т. I. — 680 с.