Interested Article - Полуторалинейная форма

Полуторалинейная форма — обобщение понятия билинейной формы . Как правило под полуторалинейной формой подразумевают функцию f(x, y) от двух векторов векторного пространства над полем со значениями в этом поле, если она линейная как функция при каждом фиксированном и полулинейная как функция при каждом фиксированном . Требование полулинейности по означает, что выполнены следующие условия:

Так определённые формы естественным образом возникают в приложениях к физике.

Существует обобщение на случай, когда векторное пространство рассматривается над произвольным полем , тогда комплексное сопряжение заменяется на произвольный фиксированный автоморфизм поля. В проективной геометрии иногда рассматривают ещё большее обобщение, когда вместо векторного пространства используется модуль над произвольным телом .

Договорённости о порядке аргументов

В приведённом в преамбуле определении выполнена линейность по первому аргументу и полулинейность по второму. Такая договорённость часто используется в математической литературе. Стоит, однако, отметить, что в физической литературе чаще используется полулинейность по первому аргументу , эта договорённость проистекает из введённых Дираком в квантовой механике обозначений бра и кет .

В комплексном векторном пространстве

Отображение в комплексном векторном пространстве называется полуторалинейным, если:

для всех и всех Здесь под подразумевается число, комплексно сопряжённое к числу

Комплексную полуторалинейную форму можно также рассматривать как комплексное билинейное отображение

где — комплексно-сопряжённое векторное пространство к пространству

Для фиксированного отображение является линейным функционалом на , то есть элементом двойственного пространства . Аналогично, отображение при фиксированном является антилинейным функционалом на

Для любой комплексной полуторалинейной формы можно рассмотреть вторую форму по формуле:

В общем случае и будут различны, а их матрицы эрмитово-сопряжены . Если формы совпадают, говорят, что эрмитова . Аналогично, если они противоположны друг другу, то говорят, что косоэрмитова .

Матричное представление

Пусть — конечномерное комплексное векторное пространство, тогда для любого базиса полуторалинейную форму можно представить при помощи матрицы по следующей формуле:

Элементы матрицы определяются из условия

Эрмитовы формы

Эрмитова форма (также полуторалинейная симметрическая форма ) — это полуторалинейная форма на комплексном пространстве такая, что

В случае положительной определённости такой формы (определяемой аналогично билинейному случаю) говорят об эрмитовом скалярном произведении . Стандартное эрмитово произведение задаётся формулой

Пару из векторного пространства и определённой на нём эрмитовой формы называют эрмитовым пространством , а в положительно определённом случае — комплексным гильбертовым пространством . При записи эрмитовой формы в произвольном базисе получается эрмитова матрица .

При применении эрмитовой формы к одному и тому же вектору

всегда получается вещественное число . Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда соответствующая квадратичная форма вещественна для всех

Косоэрмитовы формы

Косоэрмитова форма — это полуторалинейная форма на комплексном пространстве такая, что

Каждую косоэрмитову форму можно представить как эрмитову, умноженную на .

При записи косоэрмитовой формы в произвольном базисе получается косоэрмитова (антиэрмитова) матрица .

При применении косоэрмитовой формы к одному и тому же вектору

всегда получается чисто мнимое число .

Над кольцом с делением

Понятие полуторалинейной формы допускает обобщение на произвольное кольцо с делением. В коммутативном случае это область целостности , в некоммутативном чаще всего используется частный случай, когда кольцо является телом . В коммутативном случае в дальнейшем тексте все антиавтоморфизмы можно считать просто автоморфизмами, так как эти понятия совпадают для коммутативных колец.

Определение

Пусть — кольцо с делением, а — фиксированный этого кольца. Тогда -полуторалинейная форма на левом - модуле — это билинейное отображение такое, что для любых из модуля и любых скаляров из выполнено:

Ортогональное дополнение

Для данной полуторалинейной формы на модуле и подмодуля модуля ортогональным дополнением называется

Аналогично, говорят, что элемент ортогонален элементу по отношению к форме , если . Это обозначают как , или просто , если форма ясна из контекста. Это отношение не обязательно симметрично , то есть из не следует . Если для всех из следует , то форму называют рефлексивной .


Пример

Пусть — трёхмерное векторное пространство над конечным полем , где степень простого числа . Пусть два вектора и заданы координатами в стандартном базисе и . Тогда можно определить отображение формулой:

Отображение — автоморфизм , являющийся инволюцией . Отображение является -полуторалинейной формой. Эта форма эрмитова, а матрица , соответствующая этой форме в стандартном базисе — это просто единичная матрица .


См. также

Примечания

  1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.
  2. примечание 1 в от 31 октября 2021 на Wayback Machine

Литература

  • Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Dembowski, Peter (1968), , , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR
  • Gruenberg, K.W.; Weir, A.J. (1977), Linear Geometry (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
  • Jacobson, Nathan J. (2009) [1985], Basic Algebra I (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1


Внешние ресурсы

Источник —

Same as Полуторалинейная форма