Грассмановым многообра́зием
или
грассманиа́ном
линейного пространства
размерности
называется
многообразие
, состоящее из его
-мерных подпространств. Обозначается
или
или
. В частности,
— это многообразие прямых в пространстве
, совпадающее с
проективным пространством
. Названо в честь
Германа Грассмана
.
На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются
координатами Плюккера
. Они определяют вложение
. Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются
соотношениями Плюккера
.
Доказательство
Грассманиан
можно наделить следующим
атласом
.
Пусть
—
-мерное подпространство
. Введём в векторном пространстве
скалярное произведение
и обозначим через
ортогональное дополнение
.
Так как
, то любое
-мерное подпространство
, достаточно близкое к
, можно отождествить с
линейным отображением
, если представить каждый вектор
в виде суммы
, где
и
, и положить
.
Тогда окрестность точки
взаимно однозначно отображается на некоторое открытое подмножество пространства линейных отображений
. Построенный атлас делает
аналитическим многообразием размерности
, где
.
Для того, чтобы показать, что
является проективным алгебраическим многообразием, нужно воспользоваться
соотношениями Плюккера
, которые являются однородными алгебраическими уравнениями второй степени.
Свойства
-
Грассманиан
является проективным алгебраическим многообразием размерности
, где
. Соответственно, если
— комплексное пространство, то грассманиан будет комплексно-алгебраическим многообразием.
-
Грассмановым конусом
порядка
называется множество разложимых элементов
внешней степени
, то есть
-форм, представимых в виде произведения
1-форм.
грассманова конуса порядка
совпадает с
.
-
В силу естественного изоморфизма
-форм и
-форм, грассмановы многообразия порядка
и
совпадают.
-
-
Аналогично, комплексный грассманиан соответствует
унитарной группе
.
-
.
-
Эти соотношения означают, что линейное подпространство
евклидова пространства
можно задать, выбрав в объемлющем пространстве
ортонормальный
базис, первые
векторов которого образуют базис в
. Такая параметризация не однозначна, возможен различный выбор базиса как в самом
, так и в его ортогональном дополнении. Устранению этого произвола соответствует взятие
факторгруппы
.
Клеточное разбиение
Грассманиан является
клеточным пространством
. Соответствующее клеточное разбиение называется
клетки Шуберта
. Оно строится следующим образом. Выберем в объемлющем пространстве базис
. Заданному
k
-мерному подпространству
сопоставим набор чисел
(
символ Шуберта
) по правилу
-
Здесь
— подпространство, натянутое на первые
векторов базиса. Множество всех подпространств с заданными значениями
гомеоморфно клетке, размерность которой равна
. Для комплексного грассманиана все клетки являются комплексными пространствами, поэтому нетривиальные клетки имеются лишь в чётных размерностях. Как следствие,
гомологии
комплексного грассманиана имеют вид
-
Здесь
— число различных символов Шуберта в (комплексной) размерности
.
Обобщения
-
Многообразие всех ортонормированных
k
-реперов в
называется
. Оно имеет естественную структуру локально тривиального расслоения, слоем которого является
ортогональная группа
:
-
-
В частности,
,
.
Литература
-
Винберг Э. Б.
Курс алгебры. — 3-е изд.. —
М.
: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. —
3000 экз.
—
ISBN 5-88688-060-7
.
.
-
Зеликин М. И.
Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
-
Шафаревич И. Р.
, Ремизов А. О.
Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.