Тожде́ственное отображе́ние — функция , переводящая аргумент в себя. Обычно обозначается символом ${\displaystyle \mathrm {id} }$ или ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ . При этом ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$ .

В логике используются термины тождественность и идентичность . Логическим результатом функции идентичности является тавтология .

Свойства

• Для произвольной функции ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ её композиция с тождественным отображением не отличается от неё самой:

• ${\displaystyle F\circ \mathrm {id} _{X}=F}$ ,
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F}$ .

В частности, ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ является нейтральным элементом моноида , образованного отображениями из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X}$ , а также нейтральным элементом симметрической группы перестановок множества ${\displaystyle X}$ .

• Композиция биекции ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ со своей обратной функцией ${\displaystyle F^{-1}}$ даёт тождественные отображения:
  • ${\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}}$ ,
  • ${\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}}$ .

• В логике, идентичность является обратной функцией отрицания .

Литература

• Лекции по дискретной математике/ М. Вялый, В. Подольский, А. Рубцов, Д. Шварц, А. Шень Лекции по дискретной математике; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики».