Теорема Коши в теории групп гласит:

Она тесно связана с теоремой Лагранжа , в силу которой порядок любой конечной группы G делится на порядок любой её подгруппы. В силу теоремы Коши для любого простого делителя p порядка группы G , существует подгруппа, чей порядок равен p . Ей является циклическая группа, порождённая элементом из теоремы Коши.

Обобщением теоремы Коши является первая теорема Силова , в соответствии с которой, если p ⁿ является максимальной степенью p , на которую делится порядок группы G , то G имеет подгруппу именно такого порядка. Используя тот факт, что группа порядка p ⁿ разрешима , можно показать, что G содержит подгруппы любого порядка p ^r , для которого ${\displaystyle r\leq n.}$

Доказательство

Эту теорему часто доказывают с помощью индукции и применения классов сопряжённости , но для абелевых групп аналогичное утверждение доказать намного проще. В доказательстве также может применяться действие группы .

Вариант 1

Сначала докажем эту теорему в частном случае, когда группа G абелева, затем в общем случае. Оба раза теорема будет доказана индукцией по n = | G |, начиная с n = p . База тривиальна, так как любой нетождественный элемент имеет порядок p .

Если G абелева, то рассмотрим любой нетождественный элемент a и порождённую им циклическую подгруппу H . Если p делит | H |, то a ^{| H |/ p} является искомым элементом порядка p . Иначе p делит не порядок | H |, а порядок [ G : H ] факторгруппы G / H . Тогда по индуктивному предположению факторгруппа содержит элемент порядка p . Им является один из классов xH , где x лежит в G . Если он имеет порядок m в группе G , то ${\displaystyle m\vdots p}$ : благодаря тому, что в группе G x ^m = e , ( xH ) ^m = eH в факторгруппе G / H . Поэтому p делит m ; аналогично x ^{m / p} окажется элементом порядка p в группе G , что заканчивает доказательство в абелевом случае.

В общем случае пусть группа Z является центром группы G . Тогда Z окажется абелевой. Если её порядок кратен p ,то она, как мы уже видели, содержит элемент порядка p . Значит, этот элемент имеет порядок p и в группе G . Иначе p не делит Z . Так как p делит | G |, а G разбивается на Z и остальные классы сопряжённости , один из этих классов содержит элемент a , размер чьего класса не делится на p . Но легко показать, что его размер равен [ G : C _G ( a )] и не кратен p . Поэтому p делит порядок не совпадающего с группой G централизатора C _G ( a ) элемента a в группе G . Но по индуктивному предположению в централизаторе лежит искомый элемент порядка p , что и требовалось доказать.

Вариант 2

В этом варианте мы воспользуемся тем фактом, что действие циклической группы простого порядка p порождает только орбиты размеров 1 и p , что сразу следует из теоремы о стабилизаторах орбит.

Подействуем нашей группой на множество решений уравнения

${\displaystyle X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\}}$

т.е. на множество последовательностей из p элементов группы G , чьё произведение равно 1. Такая последовательность однозначно задаётся всеми элементами, кроме последнего, который обратен произведению остальных. Также понятно, что эти p − 1 элементов можно выбирать произвольным способом, и в множестве X имеется | G | ^{p −1} элементов, и их количество кратно p .

Теперь заметим, что в группе ab = e , если и только если ba = e . Поэтому, если ${\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e}$ , то ${\displaystyle x_{2}\cdots x_{p}x_{1}=e}$ . Значит, циклические перестановки компонентов элемента множества X снова породят элементы X . Это позволяет задать действие циклической группы C _p порядка p на множестве X с помощью перестановки компонентов. Иными словами, порождающий группу C _p элемент переводит

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})}$ .

Очевидно, при таком действии орбиты в X имеют размеры 1 или p . Орбита имеет размер 1, если и только если её единственный элемент имеет вид ${\displaystyle (x,x,\ldots ,x)}$ и ${\displaystyle x^{p}=e}$ . Так как количество элементов X равно сумме количеств элементов в орбитах, количество элементов ${\displaystyle x}$ , для которых ${\displaystyle x^{p}=e}$ , кратно p . Так как одним из них является единичный элемент, всего существует хотя бы ${\displaystyle p}$ элементов, хотя бы p − 1 из которых не равен единичному, а имеет порядок p . Теорема доказана.

Применения

Теорема Коши позволяет сразу установить то, какие группы могут быть конечными р-группами , где p — простое число. Именно, конечная группа G является p -группой (т.е. порядкт всех элементов — точные степени p ), если и только если порядок группы сам является степенью p . Хотя абелев случай также можно применить, чтобы доказать по индукции первую теорему Силова, так же, как в , существуют и доказательства, в которых этот случай разбирается отдельно.

Пример

Абелева простая группа может быть только циклической простого порядка. Действительно, в любой такой группе G все её подгруппы нормальны. Значит, если она проста, то все её нормальные подгруппы — либо единичная, либо она сама. если | G | = 1 , то G сама является единичной. Иначе в ней есть неединичный элемент a ∈ G , и циклическая группа ${\displaystyle \langle a\rangle }$ является неединичной подгруппой G . Значит, ${\displaystyle G=\langle a\rangle .}$ Пусть теперь порядок группы ${\displaystyle \langle a\rangle }$ равен n . Если он бесконечен, то

${\displaystyle G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\},}$ что невозможно.

Значит, n конечно. Если n составное, то оно кратно простому q , меньшему n . Но тогда существует подгруппа H порядка q , что противоречит условию. Значит, n просто.

Примечания

Литература

• (1845), , Exercises d'analyse et de physique mathématique , Paris, 3 : 151–252
• Cauchy, Augustin-Louis (1932), (PDF) , second series, vol. 13 (reprinted ed.), Paris: Gauthier-Villars, pp. 171—282
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra , Dover Books on Mathematics, vol. I (Second ed.), Dover Publications , p. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
• McKay, James H. (1959), "Another proof of Cauchy's group theorem", American Mathematical Monthly , 66 : 119, doi : , MR , Zbl