Нильпотентная группа
— естественное обобщение понятия
абелевой группы
.
Нильпотентные группы встречаются в
теории Галуа
, а также в работах по классификации групп. Они, кроме того, играют заметную роль в классификации
групп Ли
. Аналогичные понятия определяются для
алгебр Ли
.
Длина наиболее короткого центрального ряда нильпотентной группы называется её
классом
(или
ступенью
)
нильпотентности
.
Все нильпотентные группы класса нильпотентности не больше
образуют
, определяемое тождеством
Свободные группы
этого многообразия, то есть группы удовлетворяющие только таким
соотношениям
называются
свободными нильпотентными группами
.
Свойства
В любой нильпотентной группе нижний (а также верхний)
центральный ряд
обрывается на единичной подгруппе и имеет длину, равную классу нильпотентности группы.
Конечные нильпотентные группы исчерпываются прямыми произведениями
-групп
.
В любой нильпотентной группе элементы конечных порядков образуют подгруппу,
факторгруппа
по которой не имеет
кручения
.
Конечно порожденные нильпотентные группы без кручения исчерпываются группами целочисленных треугольных матриц с единицами на
главной диагонали
и их подгруппами.