В математике , в области теории групп , локально конечная группа — это группа , определенным образом (как индуктивный предел ) конструирующаяся из конечных групп . Как и для конечных групп, для локально конечных групп изучаются подгруппы Силова , и т. п.

Определения

Чаще всего употребляются следующие определения:

Локально конечной группой называется группа, каждая конечно порожденная подгруппа которой является конечной.

Локально конечной группой называется группа, у которой каждое конечное подмножество содержится в конечной подгруппе .

Эти определения равносильны.

Примеры

Примеры:

• Конечная группа является локально конечной.
• Прямая сумма конечных групп является локально конечной .
• Квазициклическая группа является локально конечной.
• Гамильтонова группа является локально конечной.
• Периодическая линейная группа является локально конечной .
• Разрешимая периодическая группа является локально конечной .

Свойства

Теорема Шмидта : класс локально конечных групп замкнут относительно взятия подгрупп, факторгрупп и расширений .

У всякой группы единственная максимальная локально конечная подгруппа .

Всякая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелеву подгруппу .

Если локально-конечная группа содержит конечную максимальную p-подгруппу , то все её максимальные p-подгруппы сопряжены, причём если их количество конечно, то оно сравнимо с 1 по модулю p (см. также Теоремы Силова ).

Если каждая счётная подгруппа локально конечной группы содержит не более чем счётное количество максимальных p-подгрупп , то все её максимальные p-подгруппы сопряжены .

См. также

• Задача Бёрнсайда

Примечания

Ссылки

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6