Следующий список содержит конечные группы малого порядка с точностью до изоморфизма групп .

Число

Словарь

Каждая группа в списке обозначается при помощи её индекса в как G _o ⁱ , где o — порядок группы, а i — её индекс среди групп этого порядка.

Также используются общепринятые названия групп:

• Z _n — циклическая группа порядка n . (Употребляется также обозначение C _n . Группа изоморфна аддитивной группе Z / n Z .)
  • K ₄ — четверная группа Клейна порядка 4 (так же обозначаемая как V ₄ ), то же самое что Z ₂ × Z ₂ или Dih ₂ .
• Dih _n — диэдрическая группа порядка 2 n (часто используются обозначения D _n или D _{2 n} )
• S _n — симметрическая группа порядка n , содержащая n ! перестановок n элементов.
• A _n — знакопеременная группа степени n , содержащая n !/2 чётных перестановок n элементов.
• Dic _n или Q _4n — дициклическая группа порядка 4 n .
  • Q ₈ — группа кватернионов порядка 8, также Dic ₂ .

Обозначения Z _n и Dih _n предпочтительнее, поскольку имеются обозначения C _n и D _n для точечных групп в трёхмерном пространстве.

Обозначение G × H употребляется для прямого произведения двух групп. G ⁿ обозначает прямое произведение группы самой на себя n раз. G ⋊ H обозначает полупрямое произведение , где H действует на G .

Перечислены абелевы и простые группы . (Для групп порядка n < 60 простые группы — это в точности циклические группы Z _n для простых n .) Знак равенства («=») означает изоморфизм.

Нейтральный элемент в графе циклов представлен чёрным кружком. Граф циклов определяет группу однозначно только для групп, порядок которых меньше 16.

В списках подгрупп тривиальная группа и сама группа не перечислены. Если имеется несколько изоморфных подгрупп, их число указано в скобках.

Список малых абелевых групп

Конечные абелевы группы являются либо циклическими группами, либо их прямым произведением, см. статью Абелева группа .

Список всех абелевых групп до 30-го порядка

Порядок	G o i	Группа	Подгруппы	Граф циклов	Свойства
1	G 1 1	Z 1 = S 1 = A 2	-		Тривиальная группа . Циклическая, знакопеременная, симметрическая группа. Элементарная группа .
2	G 2 1	Z 2 = S 2 = Dih 1	-		Простая, наименьшая нетривиальная группа. Симметрическая группа. Циклическая. Элементарная.
3	G 3 1	Z 3 = A 3	-		Простая. Знакопеременная группа. Циклическая. Элементарная.
4	G 4 1	Z 4 = Dic 1	Z 2		Циклическая.
	G 4 2	Z 2 2 = K 4 = Dih 2	Z 2 (3)		Четверная группа Клейна , наименьшая нециклическая группа. Элементарная. Произведение.
5	G 5 1	Z 5	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
6	G 6 2	Z 6 = Z 3 × Z 2	Z 3 , Z 2		Циклическая. Произведение.
7	G 7 1	Z 7	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
8	G 8 1	Z 8	Z 4 , Z 2		Циклическая.
	G 8 2	Z 4 × Z 2	Z 2 2 , Z 4 (2), Z 2 (3)		Произведение.
	G 8 5	Z 2 3	Z 2 2 (7), Z 2 (7)		Элементы, не являющиеся нейтральными, соответствуют точкам плоскости Фано , Z 2 × Z 2 подгруппы — прямым. Произведение Z 2 × K 4 . Элементарная E 8 .
9	G 9 1	Z 9	Z 3		Циклическая.
	G 9 2	Z 3 2	Z 3 (4)		Элементарная. Произведение.
10	G 10 2	Z 10 = Z 5 × Z 2	Z 5 , Z 2		Циклическая. Произведение.
11	G 11 1	Z 11	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
12	G 12 2	Z 12 = Z 4 × Z 3	Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Циклическая. Произведение.
	G 12 5	Z 6 × Z 2 = Z 3 × K 4	Z 6 (3), Z 3 , Z 2 (3), Z 2 2		Произведение.
13	G 13 1	Z 13	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
14	G 14 2	Z 14 = Z 7 × Z 2	Z 7 , Z 2		Циклическая. Произведение.
15	G 15 1	Z 15 = Z 5 × Z 3	Z 5 , Z 3		Циклическая. Произведение.
16	G 16 1	Z 16	Z 8 , Z 4 , Z 2		Циклическая.
	G 16 2	Z 4 2	Z 2 (3), Z 4 (6), Z 2 2 , Z 4 × Z 2 (3)		Произведение.
	G 16 5	Z 8 × Z 2	Z 2 (3), Z 4 (2), Z 2 2 , Z 8 (2), Z 4 × Z 2		Произведение.
	G 16 10	Z 4 × K 4	Z 2 (7), Z 4 (4), Z 2 2 (7), Z 2 3 , Z 4 × Z 2 (6)		Произведение.
	G 16 14	Z 2 4 = K 4 2	Z 2 (15), Z 2 2 (35), Z 2 3 (15)		Произведение. Элементарная.
17	G 17 1	Z 17	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
18	G 18 2	Z 18 = Z 9 × Z 2	Z 9 , Z 6 , Z 3 , Z 2		Циклическая. Произведение.
	G 18 5	Z 6 × Z 3 = Z 3 2 × Z 2	Z 2 , Z 3 (4), Z 6 (4), Z 3 2		Произведение.
19	G 19 1	Z 19	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
20	G 20 2	Z 20 = Z 5 × Z 4	Z 20 , Z 10 , Z 5 , Z 4 , Z 2		Циклическая. Произведение.
	G 20 5	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2	Z 2 (3), K 4 , Z 5 , Z 10 (3)		Произведение.
21	G 21 2	Z 21 = Z 7 × Z 3	Z 7 , Z 3		Циклическая. Произведение.
22	G 22 2	Z 22 = Z 11 × Z 2	Z 11 , Z 2		Циклическая. Произведение.
23	G 23 1	Z 23	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
24	G 24 2	Z 24 = Z 8 × Z 3	Z 12 , Z 8 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Циклическая. Произведение.
	G 24 9	Z 12 × Z 2 = Z 6 × Z 4 = Z 4 × Z 3 × Z 2	Z 12 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Произведение.
	G 24 15	Z 6 × Z 2 2 = (Z 3 × Z 2 ) × K 4	Z 6 , Z 3 , Z 2 , K 4 , E 8 .		Произведение.
25	G 25 1	Z 25	Z 5		Циклическая.
	G 25 2	Z 5 2	Z 5		Произведение. Элементарная.
26	G 26 2	Z 26 = Z 13 × Z 2	Z 13 , Z 2		Циклическая. Произведение.
27	G 27 1	Z 27	Z 9 , Z 3		Циклическая.
	G 27 2	Z 9 ×Z 3	Z 9 , Z 3		Произведение.
	G 27	Z 3 3	Z 3		Произведение. Элементарная.
28	G 28 2	Z 28 = Z 7 × Z 4	Z 14 , Z 7 , Z 4 , Z 2		Циклическая. Произведение.
	G 28 4	Z 14 × Z 2 = Z 7 × Z 2 2	Z 14 , Z 7 , Z 4 , Z 2		Произведение.
29	G 29 1	Z 29	-		Простая. Циклическая. Элементарная.
30	G 30 4	Z 30 = Z 15 × Z 2 = Z 10 × Z 3 = Z 6 × Z 5 = Z 5 × Z 3 × Z 2	Z 15 , Z 10 , Z 6 , Z 5 , Z 3 , Z 2		Циклическая. Произведение.

Список неабелевых групп малого порядка

Список неизоморфных неабелевых групп до 30 порядка

Порядок	G o i	Группа	Подгруппы	Граф циклов	Свойства
6	G 6 1	Dih 3 = 21323	Z 3 , Z 2 (3)		Диэдрическая группа , наименьшая неабелева группа, симметрическая группа, Группа Фробениуса
8	G 8 3	Dih 4	Z 4 , Z 2 2 (2), Z 2 (5)		Диэдрическая группа. . Нильпотентная.
	G 8 4	Q 8 = Dic 2 = <2,2,2>	Z 4 (3), Z 2		Группа кватернионов , * . Все подгруппы являются нормальными , несмотря на то, что сама группа абелевой не является. Наименьшая группа G , демонстрирующая, что для нормальной подгруппы H факторгруппа G / H не обязательно изоморфна подгруппе G . . Бинарная диэдрическая группа. Нильпотентная.
10	G 10 1	Dih 5	Z 5 , Z 2 (5)		Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
12	G 12 1	Q 12 = Dic 3 = <3,2,2> = Z 3 ⋊ Z 4	Z 2 , Z 3 , Z 4 (3), Z 6		Бинарная диэдрическая группа
	G 12 3	A 4 = K 4 ⋊ Z 3 = (Z 2 × Z 2 ) ⋊ Z 3	Z 2 2 , Z 3 (4), Z 2 (3)		Знакопеременная группа . Не имеет подгруппы шестого порядка, хотя 6 делит порядок группы. Группа Фробениуса
	G 12 4	Dih 6 = Dih 3 × Z 2	Z 6 , Dih 3 (2), Z 2 2 (3), Z 3 , Z 2 (7)		Диэдрическая группа, Произведение
14	G 14 1	Dih 7	Z 7 , Z 2 (7)		Диэдрическая группа , Группа Фробениуса
16	G 16 3	G 4,4 = K 4 ⋊ Z 4 (Z 2 ×Z 2 ) ⋊ Z 4			Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Паули. Нильпотентная.
	G 16 4	Z 4 ⋊ Z 4			Квадраты элементов не образуют подгруппу. Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Q 8 × Z 2 . Нильпотентная.
	G 16 6	Z 8 ⋊ Z 2			Иногда называется порядка 16, хотя это вводит в заблуждение, поскольку абелевы группы и Q 8 × Z 2 тоже модулярны. Нильпотентная.
	G 16 7	Dih 8	Z 8 , Dih 4 (2), Z 2 2 (4), Z 4 , Z 2 (9)		Диэдрическая группа . Нильпотентная.
	G 16 8	QD 16			порядка 16. Нильпотентная.
	G 16 9	Q 16 = Dic 4 = <4,2,2>			Обобщённая группа кватернионов , Бинарная диэдрическая группа. Нильпотентная.
	G 16 11	Dih 4 × Z 2	Dih 4 (2), Z 4 × Z 2 , Z 2 3 (2), Z 2 2 (11), Z 4 (2), Z 2 (11)		Произведение. Нильпотентная.
	G 16 12	Q 8 × Z 2			* , Произведение. Нильпотентная.
	G 16 13	(Z 4 × Z 2 ) ⋊ Z 2			, образованная матрицами Паули . Нильпотентная.
18	G 18 1	Dih 9	Z 9 , Dih 3 (3), Z 3 , Z 2 (9)		Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
	G 18 3	Z 3 ⋊Z 6 = Dih 3 ×Z 3 = S 3 ×Z 3	Z 3 2 , Dih 3 , Z 6 (3), Z 3 (4), Z 2 (3)		Произведение
	G 18 4	(Z 3 ×Z 3 )⋊Z 2	Z 3 2 , Dih 3 (12), Z 3 (4), Z 2 (9)		Группа Фробениуса
20	G 20 1	Q 20 = Dic 5 = <5,2,2>
	G 20 3	Z 5 ⋊ Z 4			Группа Фробениуса
	G 20 4	Dih 10 = Dih 5 × Z 2			Диэдрическая группа, Произведение
21	G 21 1	Z 7 ⋊ Z 3			Наименьшая неабелева группа нечётного порядка. Группа Фробениуса
22	G 22 1	Dih 11			Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
24	G 24 1	Z 3 ⋊ Z 8	Z 12 , Z 8 (3), Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Центральное расширение группы S 3
	G 24 3	SL (2,3) = 2T = Q 8 ⋊ Z 3			Бинарная группа тетраэдра
	G 24 4	Q 24 = Dic 6 = <6,2,2> = Z 3 ⋊ Q2			Бинарная диэдрическая
	G 24 5	Z 4 × S 3			Произведение
	G 24 6	Dih 12			Диэдрическая группа
	G 24 7	Dic 3 × Z 2 = Z 2 × (Z 3 × Z 4 )			Произведение
	G 24 8	(Z 6 × Z 2 )⋊ Z 2 = Z 3 ⋊ Dih 4			Двойное покрытие диэдрической группы
	G 24 10	Dih 4 × Z 3			Произведение. Нильпотентная.
	G 24 11	Q 8 × Z 3			Произведение. Нильпотентная.
	G 24 12	S 4	A 4 , Dih 4 (3), S 3 (4), K 4 (4), Z 4 (3), Z 3 (4), Z 2 (6)		Симметрическая группа . Не содержит нормальной силовской подгруппы.
	G 24 13	A 4 × Z 2			Произведение
	G 24 14	D 12 × Z 2			Произведение
26	G 26 1	Dih 13			Диэдрическая группа, Группа Фробениуса
27	G 27 3	Z 3 2 ⋊ Z 3			Все нетривиальные элементы имеют порядок 3. . Нильпотентная.
	G 27 4	Z 9 ⋊ Z 3			. Нильпотентная.
28	G 28 1	Z 7 ⋊ Z 4			Бинарная диэдрическая группа
	G 28 3	Dih 14			Диэдрическая группа, Произведение
30	G 30 1	Z 5 × S 3			Произведение
	G 30 3	Dih 15			Диэдрическая группа, группа Фробениуса
	G 30 4	Z 3 × Dih 5			Произведение

Классификация групп малого порядка

Группы с малым порядком, равным степени простого числа p ⁿ :

• Порядок p : все такие группы циклические.
• Порядок p ² : имеется две группы, обе абелевы.
• Порядок p ³ : имеется три абелевы группы и две неабелевы. Одна из неабелевых групп является полупрямым произведением нормальной циклической подгруппы порядка p ² на циклическую группу порядка p . Другой группой является группа кватернионов для p =2 и группа Гейзенберга по модулю p для p'>2.
• Порядок p ⁴ : классификация групп сложна и становится всё сложнее с ростом p .

Большинство групп с малым порядком имеет силовскую p -подгруппу P с нормальным p -дополнением N для некоторого простого p , делящего порядок, так что могут быть классифицированы в терминах возможных простых чисел p , p -групп P , групп N и действий P на N . В некотором смысле это сводит классификацию таких групп к классификации p -групп. Группы малого порядка, не имеющие нормального p -дополнения, включают:

• Порядок 24: симметрическая группа S ₄
• Порядок 48: бинарная октаэдральная группа и произведение S ₄ × Z /2 Z
• Порядок 60: знакопеременная группа A ₅ .

Библиотека малых групп

Система компьютерной алгебры GAP содержит «Библиотеку малых групп», которая предоставляет описания групп малого порядка. Группы перечислены с точностью до изоморфизма . В настоящее время библиотека содержит следующие группы:

• группы, порядок которых не превосходит 2000, за исключением порядка 1024 (423 164 062 групп в библиотеке. Группы порядка 1024 пропущены, поскольку имеется 49 487 365 422 неизоморфных 2-групп порядка 1024.);
• группы, порядок которых не делится на куб, с порядком до 50000 (395 703 групп);
• группы, порядок которых не делится на квадрат;
• группы порядка p ⁿ для n не больше 6 и простым p ;
• группы порядка p ⁷ для p = 3, 5, 7, 11 (907,489 группы);
• группы порядка q ⁿ × p , где q ⁿ делит 2 ⁸ , 3 ⁶ , 5 ⁵ или 7 ⁴ и p — произвольное простое число, отличное от q ;
• группы, порядок которых является произведением не более чем трёх простых чисел.

См. также

• Классификация простых конечных групп

Примечания

Литература

• H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9 . , Таблица 1, Неабелевы группы порядка <32.
• Marshall Hall Jr., James K. Senior. The Groups of Order 2 ⁿ ( n ≤ 6 ). — Macmillan, 1964.

Ссылки

• H. U. Besche, B. Eick, E. O'Brien. (неопр.) . Архивировано из 5 марта 2012 года.
• R. J. Mathar. (неопр.) (2014).