Interested Article - Накрытие

Пример накрытия: накрытие окружности спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение линейно связного пространства на линейно связное пространство , такое, что у любой точки найдётся окрестность , полный прообраз которой представляет собой объединение попарно непересекающихся областей :

,

причём на каждой области отображение является гомеоморфизмом между и .

Формальное определение

Отображение линейно связного пространства на линейно связное пространство называется накрытием , если у любой точки имеется окрестность , для которой существует гомеоморфизм , где дискретное пространство , такое что если обозначает естественную проекцию, то

.

Связанные определения

  • Пространство называется базой накрытия , а пространством накрытия (или накрывающим пространством ).
  • Прообраз точки называют слоем над точкой .
  • Число областей в полном прообразе называется числом листов .
    • Если это число конечно и равно , то накрытие называется -листным .
  • Накрытие называется универсальным если для любого другого накрытия существует накрытие такое, что .

Примеры

  • Пусть обозначает единичную окружность комплексной плоскости .
    • , .
    • , , где , .

Свойства

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности и и также локальной односвязности . При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами и : если , то индуцированный гомоморфизм , отображает изоморфно на подгруппу в и, меняя точку в , можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы (то есть нормальный делитель ), то накрытие называется регулярным . В этом случае возникает свободное действие группы на , причём оказывается факторотображением на пространство орбит . Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле , , сопоставить единственный путь , для которого и , то точка будет зависеть только от класса этой петли в и от точки . Таким образом, элементу из отвечает перестановка точек в . Эта перестановка не имеет неподвижных точек и непрерывно зависит от точки . Это определяет гомеоморфизм , коммутирующий с .

Гавайская серьга — пример пространства, не имеющего универсального накрытия
Пространство неодносвязного универсального накрытия


В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в , то есть имеется действие на , называемое монодромией накрытия . Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие , для которого или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе однозначно строится накрытие , для которого образ есть .

Для любого отображения линейно связного пространства в поднятие его до отображения существует тогда и только тогда, когда образ лежит в . Между накрытиями имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в . В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Литература

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
  • Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. . — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).
Источник —

Same as Накрытие