Interested Article - Накрытие
- 2021-04-18
- 1
Накрытие — непрерывное сюръективное отображение линейно связного пространства на линейно связное пространство , такое, что у любой точки найдётся окрестность , полный прообраз которой представляет собой объединение попарно непересекающихся областей :
- ,
причём на каждой области отображение является гомеоморфизмом между и .
Формальное определение
Отображение линейно связного пространства на линейно связное пространство называется накрытием , если у любой точки имеется окрестность , для которой существует гомеоморфизм , где — дискретное пространство , такое что если обозначает естественную проекцию, то
- .
Связанные определения
- Пространство называется базой накрытия , а — пространством накрытия (или накрывающим пространством ).
- Прообраз точки называют слоем над точкой .
-
Число областей
в полном прообразе
называется
числом листов
.
- Если это число конечно и равно , то накрытие называется -листным .
- Накрытие называется универсальным если для любого другого накрытия существует накрытие такое, что .
Примеры
-
Пусть
обозначает единичную окружность комплексной плоскости
.
- , .
- , , где , .
Свойства
- Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
- Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений . Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
- Все двулистные накрытия регулярны.
- Универсальное накрытие регулярно.
Связь с фундаментальной группой
Обычно накрытие рассматривается в предположении связности и и также локальной односвязности . При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами и : если , то индуцированный гомоморфизм , отображает изоморфно на подгруппу в и, меняя точку в , можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.
Если этот класс состоит из одной подгруппы (то есть — нормальный делитель ), то накрытие называется регулярным . В этом случае возникает свободное действие группы на , причём оказывается факторотображением на пространство орбит . Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле , , сопоставить единственный путь , для которого и , то точка будет зависеть только от класса этой петли в и от точки . Таким образом, элементу из отвечает перестановка точек в . Эта перестановка не имеет неподвижных точек и непрерывно зависит от точки . Это определяет гомеоморфизм , коммутирующий с .
В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в
, то есть имеется действие
на
, называемое
монодромией накрытия
.
Частным случаем регулярного накрытия является
универсальное накрытие
, для которого
или, что эквивалентно, X — односвязно.
Вообще, по каждой группе однозначно строится накрытие , для которого образ есть .
Для любого отображения линейно связного пространства в поднятие его до отображения существует тогда и только тогда, когда образ лежит в . Между накрытиями имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в . В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.
Литература
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
- Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. . — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).
- 2021-04-18
- 1