Дифференциа́льная фо́рма порядка ${\displaystyle k}$ , или ${\displaystyle k}$ -форма , — кососимметрическое тензорное поле типа ${\displaystyle (0,k)}$ на многообразии .

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века .

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики , в частности, в теоретической механике , симплектической геометрии , квантовой теории поля .

Пространство ${\displaystyle k}$ -форм на многообразии ${\displaystyle M}$ обычно обозначают ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ .

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии дифференциальная форма степени ${\displaystyle k}$ , или просто ${\displaystyle k}$ -форма , — это гладкое сечение ${\displaystyle \wedge ^{k}T^{*}M}$ , то есть ${\displaystyle k}$ -й внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

• значение ${\displaystyle k}$ -формы на наборе из ${\displaystyle k}$ штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
• значение ${\displaystyle k}$ -формы в точке ${\displaystyle x}$ многообразия есть кососимметрический ${\displaystyle k}$ -линейный функционал на ${\displaystyle T_{x}M}$ .

Через локальные карты

${\displaystyle k}$ -формой на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ будем называть выражение следующего вида

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}$

где ${\displaystyle f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ — гладкие функции, ${\displaystyle dx^{i}}$ — дифференциал ${\displaystyle i}$ -ой координаты ${\displaystyle x^{i}}$ (функция от вектора, возвращающая его координату с номером ${\displaystyle i}$ ), а ${\displaystyle \wedge }$ — внешнее произведение . При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие ).

Связанные определения

• Для ${\displaystyle k}$ -формы

  ${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\dots ,x^{n})dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}$

её внешний дифференциал (также просто дифференциал ) — это ${\displaystyle (k+1)}$ -форма, в координатах имеющая вид

${\displaystyle d\omega =\sum _{j=1}^{n}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots ,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}$

• для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть ${\displaystyle 0}$ -форм, затем дифференциал ${\displaystyle 1}$ -форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по ${\displaystyle R}$ -линейности и градуированному правилу Лейбница :
  • ${\displaystyle dF(v)=v(F)}$ — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля .
  • ${\displaystyle d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])}$ — значение дифференциала ${\displaystyle 1}$ -формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на значение формы на коммутаторе .
  • ${\displaystyle \ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\vartheta ^{p})}$ — где верхние индексы ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle p}$ обозначают порядки соответствующих форм.
• Дифференциальная форма называется замкнутой , если её внешний дифференциал равен 0.
• k -форма называется точной , если её можно представить как дифференциал некоторой ${\displaystyle (k-1)}$ -формы.
• Факторгруппа ${\displaystyle H_{dR}^{k}={\bar {\Omega }}_{k}/d\Omega _{k-1}}$ замкнутых k -форм по точным k -формам называется ${\displaystyle k}$ -мерной группой когомологий де Рама . Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k -мерной группе сингулярных когомологий .
• Внутренней производной формы ${\displaystyle \omega }$ степени ${\displaystyle n}$ по векторному полю ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма

  ${\displaystyle i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots ,u_{n-1})=\omega (\mathbf {v} ,u_{1},\dots ,u_{n-1})}$

Свойства

• Для любой формы справедливо ${\displaystyle d(d\omega )=0}$ .

• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница :

  ${\displaystyle d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})}$

• Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  ${\displaystyle i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})}$

• Формулы Картана. Для произвольной формы ${\displaystyle \omega }$ и векторных полей ${\displaystyle X,Y,Z}$ выполняются следующие соотношения

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,}$

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,}$ ( волшебная формула Картана )

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,}$

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,}$

  ${\displaystyle i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ обозначает производную Ли .

Примеры

• С точки зрения тензорного анализа 1-форма есть не что иное, как ковекторное поле , то есть 1 раз ковариантный тензор , заданный в каждой точке ${\displaystyle p}$ многообразия ${\displaystyle M}$ и отображающий элементы касательного пространства ${\displaystyle T_{p}(M)}$ в множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

  ${\displaystyle \omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb {R} }$

• Форма объёма — пример ${\displaystyle n}$ -формы на ${\displaystyle n}$ -мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма ${\displaystyle \omega }$ на ${\displaystyle 2n}$ -многообразии, такая что ${\displaystyle \omega ^{n}\not =0}$ .

Применения

Векторный анализ

Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть ${\displaystyle I}$ — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами , а ${\displaystyle *}$ — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:

${\displaystyle \operatorname {rot} \,v=*\,d\,I(v)}$

${\displaystyle \operatorname {div} \,v=*^{-1}d\,*(v)}$

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея , соответствующую тензору электромагнитного поля :

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.}$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1) , с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория . 3-форма тока , дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид

${\displaystyle {\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.}$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

${\displaystyle \mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}}$

где ${\displaystyle *}$ — оператор звезды Ходжа . Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма ${\displaystyle *\mathbf {F} }$ также называется 2-формой Максвелла .

Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие ${\displaystyle M}$ с заданными на нём симплектической формой ${\displaystyle \omega }$ и функцией ${\displaystyle H}$ , называемой функцией Гамильтона . ${\displaystyle \omega }$ задаёт в каждой точке ${\displaystyle X\in M}$ изоморфизм ${\displaystyle I}$ кокасательного ${\displaystyle T_{X}^{*}M}$ и касательного ${\displaystyle T_{X}M}$ пространств по правилу

${\displaystyle dH(\mathbf {u} )=\omega (IdH,\mathbf {u} ),~~\forall \mathbf {u} \in T_{X}M}$ ,

где ${\displaystyle dH}$ — дифференциал функции ${\displaystyle H}$ . Векторное поле ${\displaystyle IdH}$ на многообразии называется гамильтоновым полем , а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком . Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень . Отсюда следует теорема Лиувилля . Скобка Пуассона функций ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle M}$ определяется по правилу

${\displaystyle [F,G]=\omega (IdF,IdG)}$

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях . В этом случае в каждой точке задаётся полилинейная антисимметричная функция от ${\displaystyle k}$ векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k -формы на ${\displaystyle M}$ со значениями в векторном расслоении ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

${\displaystyle \left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}E}$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы , в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение ${\displaystyle TM}$ .

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5 .
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М. : Мир, 1973.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П. , Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М. : Наука, 1971.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М. : Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М. : Наука, 1987.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л. : Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса