Групповой объект — это обобщение понятия группы на объект произвольной категории , во многих случаях групповой объект можно понимать как группу с дополнительной структурой. Типичный пример — топологическая группа , имеющая структуру топологического пространства , согласующуюся с групповой структурой, в том смысле, что групповая операция непрерывна .

Определение

Пусть C — категория с терминальным объектом 1, в которой для любых двух объектов существует их произведение . Групповой объект в C — это объект G категории C вместе с тройкой морфизмов :

• m : G × G → G (морфизм, соответствующий «групповой операции»)
• e : 1 → G («вложение тождественного элемента»)
• inv : G → G («взятие обратного элемента»),

для которых должны выполняться следующие свойства (соответствующие аксиомам группы):

• m ассоциативен, то есть ${\displaystyle m\circ (m\times \mathrm {id} _{G})}$ и ${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times m)}$ — один и тот же морфизм ${\displaystyle G\times G\times G\to G}$ (здесь мы каноническим образом отождествляем ${\displaystyle (G\times G)\times G}$ и ${\displaystyle G\times (G\times G)}$ );
• e является двусторонне нейтральным элементом , то есть ${\displaystyle m\circ (e\times \mathrm {id} _{G})=p_{2},}$ где ${\displaystyle p_{2}:1\times G\to G}$ — естественная проекция на второй множитель, и ${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times e)=p_{1},}$ где ${\displaystyle p_{1}:G\times 1\to G}$ — естественная проекция на первый множитель;
• обратный элемент действительно является обратным, то есть, если d : G → G × G — диагональное отображение, а e _G : G → G — композиция единственного морфизма G → 1 и морфизма e , то ${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times \mathrm {inv} )\circ d=m\circ (\mathrm {inv} \times \mathrm {id} _{G})\circ d=e_{G}.}$

Примеры

• Группы — это в точности групповые объекты в категории множеств . Здесь m — бинарная операция умножения, e — функция , отправляющая множество- синглетон в тождественный элемент группы, inv сопоставляет элементу группы обратный элемент, а e _G отправляет все элементы группы в тождественный.
• Топологическая группа — групповой объект в категории топологических пространств и непрерывных отображений .
• Группа Ли — групповой объект в категории гладких многообразий и гладких отображений .
• Алгебраическая группа — групповой объект в категории алгебраических многообразий и регулярных отображений . В современной алгебраической геометрии рассматривают также более общее понятие — группового объекта в категории схем .
• Групповые объекты в категории групп — это в точности абелевы группы . Действительно, если G — абелева группа, то m , e и inv , определённые обычным образом, удовлетворяют свойствам группового объекта (в частности, из абелевости группы G следует, что inv является гомоморфизмом ). Обратно, если ( G , m , e , inv ) — групповой объект в категории групп, можно доказать, что операция m совпадает с изначальной операцией на группе G , из чего следует, что e и inv также определены обычным образом. См. также аргумент Экманна — Хилтона .
• Если C — категория с конечными копроизведениями (в частности, с начальным объектом 0, являющимся копроизведением пустого множества объектов), когрупповой объект категории C — это объект G вместе со следующими морфизмами: «коумножением» m : G → G ${\displaystyle \oplus }$ G, «коединицей» e : G → 0 и «кообращением» inv : G → G , которые удовлетворяют аксиомам, двойственным к перечисленным выше аксиомам группового объекта. Когрупповые объекты естественно возникают в алгебраической топологии .

См. также

• Алгебры Хопфа можно рассматривать как обобщение групповых объектов на произвольную моноидальную категорию .

Ссылки

• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
• Lang, Serge (2002), Algebra. — Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag — ISBN 978-0-387-95385-4 .