В общей алгебре , поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k .

2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным .

3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным .

4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p -й степенью.

5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом .

6) k совпадает со множеством неподвижных точек k -автоморфизмов алгебраического замыкания k .

В противном случае поле называется несовершенным .

Совершенные поля полезны тем, что теория Галуа над ними становится значительно проще, так как условие сепарабельности расширений поля выполняется автоматически.

Более общо, кольцо характеристики p называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса для него является автоморфизмом. (В случае целостных колец это эквивалентно условию "каждый элемент является p -й степенью).

Примеры

• Все поля характеристики ноль являются совершенными, например, поле рациональных чисел .
• Все конечные поля .
• Все алгебраически замкнутые поля .
• Алгебраические расширения совершенного поля также являются совершенными.

Большинство полей, появляющихся на практике, совершенные. Примеры несовершенных полей доставляет алгебраическая геометрия в характеристике p > 0. Например, поле рациональных функций от одной переменной над полем характеристики p является несовершенным, так как в этом поле отсутствует p -й корень из x .

Совершенное замыкание

В характеристике p > 0 можно «сделать» поле k совершенным, добавив к нему корни p ^r -й степени ( r ≥1) из всех элементов. Получившееся поле называется совершенным замыканием k и обычно обозначается ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$ .

В терминах универсального свойства , совершенное замыкание кольца ${\displaystyle A}$ характеристики ${\displaystyle p}$ — это совершенное кольцо ${\displaystyle A_{p}}$ характеристики ${\displaystyle p}$ вместе с гомоморфизмом колец ${\displaystyle u:A\to A_{p}}$ , таким что для любого совершенного кольца ${\displaystyle B}$ характеристики ${\displaystyle p}$ с гомоморфизмом ${\displaystyle v:A\to B}$ существует единственный гомоморфизм ${\displaystyle f:A_{p}\to B}$ , такой что ${\displaystyle v=f\circ u}$ . Совершенное замыкание существует для любого кольца , следовательно, функтор совершенного замыкания существует и является левым сопряженным забывающего функтора из категории совершенных колец в категорию колец.

Примечания

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
• (2003), Algebra II , Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
• Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), (PDF) , Дата обращения: 5 февраля 2010
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields , Graduate Texts in Mathematics, vol. 67 (2 ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5 , MR
• Cohn, P.M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings and Fields
• Matsumura, H (2003), Commutative ring theory , Translated from the Japanese by M. Reid. , vol. 8 (2nd ed.)