Коммутативное кольцо — кольцо , в котором операция умножения коммутативна (обычно также подразумевается её ассоциативность и существование единицы). Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра .

Идеалы и спектр кольца

Некоторые из последующих определений существуют и для некоммутативных колец, однако становятся более сложными. Например, идеал в коммутативном кольце автоматически является двусторонним, что существенно упрощает ситуацию.

Идеалы и факторкольца

Внутренняя структура коммутативного кольца определяется структурой его идеалов, то есть непустых подмножеств , замкнутых относительно сложения, а также умножения на произвольный элемент кольца. По данному подмножеству F = { f _j } _{j ∈ J} коммутативного кольца R можно построить наименьший идеал, содержащий это подмножество. А именно, это пространство конечных линейных комбинаций вида

r ₁ f ₁ + r ₂ f ₂ + … + r _n f _n .

Идеал, порожденный одним элементом, называется главным . Кольцо, в котором все идеалы главные, называется кольцом главных идеалов , два важных примера таких колец — ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и кольцо многочленов над полем k ${\displaystyle k[x]}$ . Любое кольцо имеет как минимум два идеала — нулевой идеал и само кольцо. Идеал, который не содержится в другом несобственном (не совпадающем с самим кольцом) идеале называется максимальным . Из леммы Цорна следует, что в любом кольце существует хотя бы один максимальный идеал.

Определение идеала построено таким образом, что позволяет «поделить» кольцо на него, то есть существует факторкольцо R / I : это множество смежных классов по I с операциями

( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I and ( a + I )( b + I ) = ab + I .

Эти операции определены корректно, например, ( a + I )( b + I ) = ab + aI + Ib + I*I = ab + I , так как aI принадлежит I и т. д. Из этого понятно, почему определение идеала именно такое.

Локализация

Локализация кольца — это операция, в некотором смысле противоположная ко взятию фактора: в факторкольце элементы некоторого подмножества превращаются в ноль, тогда как в локализации элементы некоторого множества становятся обратимыми . А именно, если S — это подмножество R , замкнутое относительно умножения, то локализация по S , обозначаемая как S ⁻¹ R , состоит из формальных символов вида

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$ , где r ∈ R , s ∈ S

с правилом сокращения числителя и знаменателя, похожим на обычное правило (но не совпадающим с ним). Операции сложения и умножения на таких «дробях» определяются обычным образом.

На этом языке Q — это локализация Z по множеству ненулевых целых чисел. Эту же операцию можно провести с любым целостным кольцом на месте Z : локализация ( R \ {0}) ⁻¹ R называется полем частных кольца R . Если S состоит из всех степеней фиксированного элемента f , локализация обозначается как R _f .

Простые идеалы и спектр

Особенно важный тип идеалов — простые идеалы, часто обозначаемые буквой p . По определению, простой идеал — это несобственный идеал, такой что если в нём содержится произведение двух элементов, то в нём содержится хотя бы один из этих элементов. Эквивалентное определение — факторкольцо R / p целостно. Ещё одно эквивалентное определение — дополнение R \ p замкнуто относительно умножения. Локализация ( R \ p ) ⁻¹ R достаточно важна, чтобы иметь своё собственное обозначение: R _p . Это кольцо имеет только один максимальный идеал: pR _p . Подобные кольца называются локальными .

Простые идеалы — ключевой элемент геометричного описания кольца, с помощью спектра кольца Spec R . Как множество, Spec R состоит из простых идеалов. Если R — поле, в нём есть только один простой идеал (нулевой), поэтому спектр поля — точка. Другой пример — Spec Z содержит одну точку для нулевого идеала и одну — для каждого простого числа p . Спектр снабжен топологией Зарисского , в которой открытые множества — это множества вида D ( f ) = { p ∈ Spec R , f ∉ p }, где f — произвольный элемент кольца. Эта топология отличается от обычных примеров топологий из анализа: например, замыкание точки, соответствующей нулевому идеалу — это всегда весь спектр.

Определение спектра является базовым для коммутативной алгебры и алгебраической геометрии . В алгебраической геометрии спектр снабжается пучком ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ . Пара «пространство и пучок на нём» называется аффинной схемой . По аффинной схеме можно восстановить исходное кольцо путём применения функтора глобальных сечений . Более того, это соответствие функториально : оно сопоставляет каждому гомоморфизму колец f : R → S непрерывное отображение в противоположном направлении:

Spec S → Spec R , q ↦ f ⁻¹ ( q ) (прообраз любого простого идеала прост).

Таким образом, категории аффинных схем и коммутативных колец эквивалентны . Следовательно, многие определения, применяемые к кольцам и их гомоморфизмам появляются из геометрической интуиции. Аффинные схемы являются локальными данными для схем (примерно так же, как пространства R ⁿ являются локальными данными многообразий ), которые представляют собой основной объект изучения алгебраической геометрии.

Гомоморфизмы колец

Как обычно в алгебре, гомоморфизмом называется отображение между алгебраическими объектами, сохраняющее их структуру. В частности, гомоморфизм (коммутативных) колец с единицей — это отображение f : R → S , такое что

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ), f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) and f (1) = 1.

В этой ситуации S также является R -алгеброй: действительно, элементы S можно умножать на элементы R по правилу

r · s := f ( r ) · s .

Ядро и образ гомоморфизма f — это множества ker ( f ) = { r ∈ R , f ( r ) = 0} и im ( f ) = f ( R ) = { f ( r ), r ∈ R }. Ядро является идеалом в R , а образ — подкольцом S .

Размерность

Размерность Крулля (или просто размерность) является способом измерение «размера» кольца. А именно, это максимальная длина n цепочки простых идеалов вида

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$ .

Например, поле имеет размерность 0, потому что оно имеет только один идеал — нулевой. Размерность целых чисел — единица; единственная цепочка простых идеалов имеет вид

${\displaystyle 0={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq p\mathbb {Z} ={\mathfrak {p}}_{1}}$ , где p — простое число .

Локальное кольцо с максимальным идеалом m называется регулярным , если его размерность равна размерности m/m ² как векторного пространства над R/m .

Построение коммутативных колец

Примечания

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4 .
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. , Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1 , MR
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas». — Publications Mathématiques de l’IHÉS 4
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• Pinter-Lucke, James (2007), "Commutativity conditions for rings: 1950–2005", Expositiones Mathematicae , 25 (2): 165—174, doi : , ISSN
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958-60), Commutative Algebra I, II , University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc. {{ citation }} : Проверьте значение даты: |year= ( справка )