Оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ называется ограниченным , если каждое ограниченное множество исходного топологического векторного пространства ${\displaystyle X}$ он переводит в ограниченное множество топологического векторного пространства ${\displaystyle Y}$ .

Приведённое выше определение относится как к линейным , так и к .

Линейный ограниченный оператор

Определения

Для линейного оператора часто приводят другие определения:

• Будем называть линейный оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ ограниченным , если существует такая окрестность нуля ${\displaystyle U}$ , что ${\displaystyle A(U)}$ является ограниченным множеством в ${\displaystyle Y}$ .
• Будем называть линейный оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ в нормированном пространстве ограниченным , если существует такое положительное число ${\displaystyle C}$ , что ${\displaystyle \|Ax\|\leq C\|x\|}$ . Наименьшее из таких чисел ${\displaystyle C}$ обозначают через ${\displaystyle \|A\|}$ и называют нормой оператора ${\displaystyle A}$ . Иными словами,

${\displaystyle \|A\|=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}}$

Свойства в F-пространствах

Замечание: Частным случаем F-пространства является пространство Банаха .

• Справедлива теорема о том, что линейный ограниченный оператор, действующий из одного F-пространства в другое является непрерывным .
• Обратно (Теорема Банаха ), всякий непрерывный оператор является ограниченным.

Поэтому для дополнительных свойств таких операторов смотрите статью Линейный непрерывный оператор .

Литература

1. ↑ Математическая энциклопедия / Виноградов И.М. . — М. : Сов. энциклопедия , 1977 . — Т. 3.
2. ↑ Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М. : ИЛ , 1962 . — Т. 1. Общая теория. — С. 66-67.