C*-алгебра — банахова алгебра с инволюцией , удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора .

Частным случаем С*-алгебры является комплексная алгебра над полем A линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• А является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы .
• А замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов .

Другой важный класс не-гильбертовых С*-алгебр составляют алгебры непрерывных функций ${\displaystyle C_{0}(X)}$ на пространстве ${\displaystyle X}$ .

C*-алгебры впервые были рассмотрены главным образом с целью использования их в квантовой механике для моделирования алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс C*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана .

Примерно в 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк , используя понятие вполне регулярных колец, дали теоретическую характеристику C*-алгебр .

C*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп, а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики . Другой активной областью исследований является классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных C*-алгебр.

Формальное определение

C*-алгеброй называют банахову алгебру A над полем комплексных чисел , для всех элементов которой ${\textstyle x\in A}$ определено отображение ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$ со следующими свойствами:

• Это отображение — инволюция для каждого x в A :

${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$

• Для всех x , y в A :

${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• Для всякого комплексного числа ${\displaystyle \lambda }$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и всякого x в A :

${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}}$

• Для всех x в A :

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|}$

Примечание. Первые три тождества говорят, что A является *-алгеброй . Последнее тождество называется C*-тождеством и эквивалентно формуле

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}}$

С*-тождество является очень сильным требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{ не обратимый}}\}.}$

Ограниченный оператор ${\displaystyle \pi }$ : A ${\displaystyle \to }$ B между C*-алгебрами A и B называется *-гомоморфизмом , если

• для всех x и y из A выполняется

${\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)}$

• для всех x из A выполняется

${\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}}$

В случае C*-алгебр, любой *-гомоморфизм ${\displaystyle \pi }$ между C*-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой ${\displaystyle \leq 1}$ . Кроме того, инъективный *-гомоморфизм между C*-алгебрами является изометрическим . Эти свойства являются следствиями C*-тождества.

Биективный *-гомоморфизм ${\displaystyle \pi }$ называется C*-изоморфизмом , и в этом случае А и B называются изоморфными .

Примечания

Ссылки

• Дж. Мёрфи. C *-алгебры и теория операторов = C *-Algebras and Operator Theory. — М. : Факториал, 1997. — ISBN 5-88688-016-X .
• . (англ.) . — New York : Springer-Verlag , 1976. — Vol. 13 «Graduate texts in mathematics». — 106 p. — ISBN 0-387-90176-0 .
• Connes, Alain , , ISBN 0-12-185860-X
• (1969), , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
• ; Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
• Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
• A. I. Shtern (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
• (1971), C*-algebras and W*-algebras , Springer, ISBN 3-540-63633-1
• Segal, Irving (1947), "Irreducible representations of operator algebras", Bulletin of the American Mathematical Society , 53 (2): 73—88, doi :