Риманово многообразие , или риманово пространство ( M , g ), — это ( вещественное ) гладкое многообразие M , в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором , меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством .

Это позволяет определить различные геометрические понятия на римановых многообразиях, такие как углы , длины кривых , площади (или объёмы ), кривизну , градиент функции и дивергенции векторных полей .

Риманова метрика g — это положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор ; точнее — это гладкое ковариантное симметричное положительно определенное тензорное поле валентности (0,2).

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей .

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана .

Обзор

Касательное расслоение гладкого многообразия M ставит в соответствие каждой точке M векторное пространство, называемое касательным , и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая α( t ): [0, 1] → M имеет касательный вектор α′( t ₀ ) в касательном пространстве T M ( t ₀ ) в любой точке t ₀ ∈ (0, 1), и каждый такой вектор имеет длину ‖α′( t ₀ )‖, где ‖·‖ обозначает норму , индуцированную скалярным произведением на T M ( t ₀ ). Интеграл по этим длинам даёт длину всей кривой α:

${\displaystyle L(\alpha )=\int _{0}^{1}{\|\alpha '(t)\|\,\mathrm {d} t}.}$

Гладкость α( t ) для t в [0, 1] гарантирует, что интеграл L (α) существует и длина кривой определена.

Во многих случаях для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие R ⁿ имеет индуцированную метрику g : скалярное произведение на каждом касательном пространстве — это просто скалярное произведение на R ⁿ . Имеет место и обратный факт: теорема Нэша о регулярных вложениях утверждает, что любое достаточно гладкое риманово многообразие может быть реализовано как подмногообразие с индуцированной метрикой в R ⁿ достаточной большой размерности n .

Измерение длин и углов при помощи метрики

На римановом многообразии длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция ${\displaystyle x(t)}$ параметра ${\displaystyle t}$ , меняющегося от ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$ ), равна:

${\displaystyle L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt=\int \limits _{x(a)}^{x(b)}{\sqrt {g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}}.}$

Угол ${\displaystyle \theta \ }$ между двумя векторами, ${\displaystyle U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ }$ и ${\displaystyle V=v^{j}{\partial \over \partial x^{j}}\ }$ (в искривлённом пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}.}$

Обобщения

• Псевдориманово многообразие
• Субриманово многообразие
• Финслерово многообразие

Литература

• Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко . Современная геометрия. — Любое издание.
• А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко . Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.