Спектр кольца в математике — множество всех простых идеалов данного коммутативного кольца . Обычно спектр снабжается топологией Зарисского и пучком коммутативных колец, что делает его локально окольцованным пространством . Спектр кольца ${\displaystyle R}$ (далее под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей») обозначается ${\displaystyle \operatorname {Spec} \,R}$ .

Топология Зарисского

Топологию на спектре кольца можно ввести двумя эквивалентными способами, и оба способа активно используются в алгебраической геометрии .

База топологии Зарисского

Первый способ ввести топологию Зарисского на спектре кольца — указать базу топологии . Базой служат подмножества спектра вида ${\displaystyle D_{f}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} \,R:f\notin {\mathfrak {p}}\}}$ , где ${\displaystyle f}$ — произвольный элемент кольца ${\displaystyle R}$ .

Легко проверяются следующие утверждения:

${\displaystyle D_{1}=\operatorname {Spec} \,R}$

${\displaystyle D_{f}\cap D_{g}=D_{fg}}$

Из этих формул следует, что семейство всех подмножеств вида ${\displaystyle D_{f}}$ является покрытием спектра, замкнутым относительно пересечений, то есть является базой некоторой топологии.

Спектр кольца, как правило, не является хаусдорфовым пространством . С другой стороны, спектр любого кольца удовлетворяет аксиоме отделимости T ₀ и является компактом .

Для доказательства компактности достаточно проверить, что из покрытия элементами базы можно выбрать конечное подпокрытие. Если система множеств ${\displaystyle \{D_{f}:f\in A\}}$ является покрытием спектра, это означает, что идеал кольца R, порождённый множеством A, содержит единицу. То есть справедливо равенство: ${\displaystyle 1=k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots +k_{n}a_{n}}$ , в котором ${\displaystyle a_{i}}$ являются элементами множества A, а ${\displaystyle k_{i}}$ — некоторые элементы кольца R. Но тогда ${\displaystyle \{D_{f_{1}},D_{f_{2}},\cdots ,D_{f_{n}}\}}$ — искомое конечное подпокрытие спектра. Аналогично доказывается компактность множеств ${\displaystyle D_{f}}$ . (Следует заметить, что в отсутствие хаусдорфовости, компактное подмножество не обязано быть замкнутым!)

Определение через замкнутые подмножества

Второй способ ввести топологию Зарисского на спектре кольца — указать все замкнутые подмножества . Замкнутыми множествами спектра являются множества вида:

${\displaystyle V({\mathfrak {a}})=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} \,R:{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}\}}$ , где ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ — произвольный (не обязательно простой) идеал кольца ${\displaystyle R}$ .

Легко проверяются следующие формулы:

${\displaystyle V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})}$ , где ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ — произведение соответствующих идеалов,

${\displaystyle \cap _{\alpha }V({\mathfrak {a_{\alpha }}})=V(\sum _{\alpha }{\mathfrak {a_{\alpha }}})}$ ,

${\displaystyle V((0))=\operatorname {Spec} \,R}$ ,

${\displaystyle V((1))=\varnothing }$ ,

из которых следует, что семейство множеств вида ${\displaystyle V({\mathfrak {a}})}$ удовлетворяет аксиомам системы всех замкнутых множеств топологического пространства. Открытыми множествами являются дополнения к этим множествам.

При таком описании топологии легко видеть, что если ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subset {\mathfrak {p}}_{2}}$ — два простых идеала, то точка ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}$ лежит в замыкании точки ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$ . Таким образом, замкнутыми точками в топологии Зарисского являются максимальные идеалы и только они.

Эквивалентность топологий

Для доказательства эквивалентности определений через базу топологии и через замкнутые множества, достаточно проверить формулы:

${\displaystyle V({\mathfrak {a}})^{c}=\cup _{f\in {\mathfrak {a}}}D_{f}}$

${\displaystyle D_{f}=V((f))^{c}}$ , где ${\displaystyle V^{c}}$ обозначает дополнение множества ${\displaystyle V}$ , а ${\displaystyle (f)}$ — идеал, порождённый элементом ${\displaystyle f}$ .

Первая из этих формул означает, что подмножество спектра, открытое относительно второй топологии, является открытым и в первой, а вторая — что все множества, составляющие базу первой топологии, являются открытыми и во второй (а следовательно, являются открытыми и все объединения этих множеств).

Структурный пучок и схемы

Структурный пучок на спектре задаётся следующим образом: каждому открытому множеству ${\displaystyle D_{f}}$ из базы сопоставляется локализация кольца ${\displaystyle R}$ по мультипликативной системе ${\displaystyle \{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}}$ . Элементы этой локализации — формальные дроби вида ${\displaystyle p/q}$ , такие что ${\displaystyle q}$ является степенью ${\displaystyle f}$ . Соответственно, открытому множеству ${\displaystyle \cup _{i}D_{f_{i}}}$ сопоставляется локализация по мультипликативной системе, порождённой ${\displaystyle f_{i}}$ .

Одно и то же открытое множество может быть представлено в виде ${\displaystyle \cup _{i}D_{f_{i}}}$ многими способами, однако можно показать, что локализация кольца не зависит от выбора такого представления, а также проверить, что выполняются все остальные свойства пучка.

В случае, когда ${\displaystyle R}$ является целостным кольцом с полем частных ${\displaystyle K}$ , структурный пучок можно описать более конкретно. Элемент ${\displaystyle f/g\in K}$ называется регулярным в точке ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} \,R}$ , если он может быть представлен в виде дроби ${\displaystyle f/g}$ знаменатель которой не принадлежит ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ . Соответственно, открытому множеству ${\displaystyle U}$ сопоставляется множество элементов ${\displaystyle K}$ , регулярных в каждой точке ${\displaystyle U}$ ; можно проверить, что это множество замкнуто относительно сложения и умножения, то есть образует кольцо. Построение отображений ограничения в этом случае также более очевидно: если ${\displaystyle U'\subset U}$ , то элемент поля частных, регулярный в каждой точке ${\displaystyle U}$ , регулярен и в каждой точке ${\displaystyle U'}$ .

Слой получившегося пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ в точке ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ совпадает с локализацией ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ кольца ${\displaystyle R}$ по простому идеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ , это кольцо локально . Следовательно, спектр кольца действительно является локально окольцованным пространством.

Локально окольцованное пространство, которое можно получить таким образом, называется аффинной схемой . Общие схемы получаются «склейкой» нескольких аффинных схем.

Функториальность

Каждому гомоморфизму колец ${\displaystyle \varphi :A\to B}$ соответствует непрерывное отображение спектров (в противоположном направлении) ${\displaystyle \varphi ^{*}:\operatorname {Spec} \,B\to \operatorname {Spec} \,A}$ . Действительно, прообраз простого идеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in B}$ под действием ${\displaystyle \varphi }$ является простым идеалом. Для того, чтобы доказать непрерывность этого отображения, достаточно доказать, что прообраз замкнутого множества замкнут. Это следует из равенства

${\displaystyle (\varphi ^{*})^{-1}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ({\mathfrak {a}}))}$ , где ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ — произвольный идеал кольца ${\displaystyle A}$ .

Из этого следует, что ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ является контравариантным функтором из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Более того, отображение ${\displaystyle \varphi }$ для каждого ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in B}$ индуцирует гомоморфизм локальных колец

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}}$

Следовательно, ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ определяет контравариантный функтор в категорию локально окольцованных пространств. Образ этого функтора — в точности аффинные схемы, поэтому категория коммутативных колец (контравариантно) эквивалентна категории аффинных схем.

Мотивировка из алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии изучаются алгебраические многообразия , то есть подмножества пространства ${\displaystyle K^{n}}$ (где ${\displaystyle K}$ — алгебраически замкнутое поле ), задаваемые как общие нули некоторого множества многочленов от ${\displaystyle n}$ переменных. Если ${\displaystyle A}$ — такое алгебраическое многообразие, рассмотрим коммутативное кольцо полиномиальных функций ${\displaystyle A\to K}$ . Тогда максимальные идеалы кольца ${\displaystyle R}$ соответствуют точкам многообразия ${\displaystyle A}$ , а простые идеалы — всем неприводимым подмногообразиям ${\displaystyle A}$ (многообразие называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух меньших многообразий). При этом замыкание подмногообразия состоит из всех его точек и подмногообразий. Более того, определённый выше пучок на спектре фактически совпадает с пучком рациональных функций на алгебраическом многообразии ${\displaystyle A}$ .

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Хартсхорн , Алгебраическая геометрия — М.: Мир, 1981.
• Мамфорд , Красная книга о многообразиях и схемах — М.: МЦНМО, 2007.