Теория гомоло́гий ( др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука ») — раздел математики , который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов , называемых группами гомологий и группами когомологий . Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.

В простейшем случае топологическому пространству ${\displaystyle X}$ сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий ${\displaystyle H_{k}(X)}$ , занумерованных натуральными числами ${\displaystyle k}$ . Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп , они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации .

Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию , и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры , так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга .

Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии ${\displaystyle H_{k}(X,A)}$ с коэффициентами в абелевой группе ${\displaystyle A}$ , относительные гомологии ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$ пары пространств ${\displaystyle X\supset Y}$ и когомологии ${\displaystyle H^{k}(X)}$ , определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения ${\displaystyle H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\to H^{k+l}(X)}$ , превращающего их в градуированную алгебру .

Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам , алгебрам Ли , пучкам . Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями.

Общее определение

Напомним, что ${\displaystyle k}$ -тая гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{k}(X)}$ пространства ${\displaystyle X}$ — это множество отображений из ${\displaystyle k}$ -мерной сферы в ${\displaystyle X}$ , рассмотренное с точностью до непрерывной деформации . Для определения гомологий ${\displaystyle H_{k}(X)}$ отображения сфер заменяют на ${\displaystyle k}$ -циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности ${\displaystyle k}$ внутри ${\displaystyle X}$ , но в разных определениях формализуют по-разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.

В стандартных обозначениях группа ${\displaystyle k}$ -циклов — ${\displaystyle Z_{k}(X)}$ (от нем. Zyklus — «цикл»), группа ${\displaystyle k}$ -границ — ${\displaystyle B_{k}(X)}$ (от англ. boundary — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как

${\displaystyle H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)}$ .

Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности ${\displaystyle k>2}$ приводит к некоторым трудностям . Решением является определение промежуточного понятия группы ${\displaystyle k}$ -цепей ${\displaystyle C_{k}(X)}$ , состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в ${\displaystyle X}$ неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы ${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)}$ . Тогда ${\displaystyle k}$ -циклы определяются как ${\displaystyle k}$ -цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром , а границы — образом отображения границы:

${\displaystyle Z_{k}(X)=Ker(\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X)=Im(\partial _{k+1}:C_{k+1}(X)\to C_{k}(X))}$ .

Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса : ${\displaystyle \partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0}$ , а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.

Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы , а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий , определённых для симплициальных комплексов , — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий , определённых для клеточного комплекса , это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.

Гомологические теории

• Симплициальные гомологии — гомологии определяются для очень простых пространств ( симплициальных комплексов ).

Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

• Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом . Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.

• — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.

Гомологии с коэффициентами в произвольных группах

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы ${\displaystyle G}$ . То есть, вместо групп ${\displaystyle C_{k}(X)}$ рассматривать группы ${\displaystyle C_{k}(X)\otimes G}$ .

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в группе ${\displaystyle G}$ обозначаются ${\displaystyle H_{k}(X;G).}$ Обычно применяют группу действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , или циклическую группу вычетов по модулю ${\displaystyle m}$ — ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ , причём обычно берётся ${\displaystyle m=p}$ — простое число, тогда ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ является полем .

Другое описание. Применяя к комплексу ${\displaystyle C_{*}(X)}$

${\displaystyle \ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\xleftarrow {}}\ldots }$

функтор ${\displaystyle \cdot \otimes G}$ , мы получим комплекс

${\displaystyle \ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}\ldots }$ ,

гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в ${\displaystyle G}$ .

Когомологии

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу ${\displaystyle G}$ . То есть, пространство коцепей ${\displaystyle C^{k}(X)=\operatorname {Hom} (C_{k}(X),G)}$ .

Граничный оператор ${\displaystyle \delta ^{k}:C^{k}\to C^{k+1}}$ определяется по формуле: ${\displaystyle (\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)}$ (где ${\displaystyle x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}}$ ). Для такого граничного оператора также выполняется

${\displaystyle \delta ^{k+1}\delta ^{k}=0}$ , а именно

${\displaystyle (\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0}$ .

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов ${\displaystyle Z^{k}(X,G)=\operatorname {Ker} \delta ^{k}}$ , кограниц ${\displaystyle B^{k}(X,G)=\operatorname {Im} \delta ^{k-1}}$ и когомологий ${\displaystyle H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)}$ .

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если ${\displaystyle G}$ — кольцо , то в группе когомологий ${\displaystyle H^{*}(X,G)}$ определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или ${\displaystyle \cup }$ -произведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо , называемое кольцо когомологий .

В случае, когда ${\displaystyle X}$ — дифференцируемое многообразие , кольцо когомологий ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {R} )}$ может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на ${\displaystyle X}$ (см. Теорема де Рама ).

Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым .

Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность

Возьмём случай двух топологических пространств ${\displaystyle Y\subset X}$ . Группа цепей ${\displaystyle C_{k}(Y)\subset C_{k}(X)}$ (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе ${\displaystyle G}$ ). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы ${\displaystyle C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)}$ . Так как граничный оператор ${\displaystyle d}$ на группе гомологий подпространства ${\displaystyle Y}$ переводит ${\displaystyle d_{k}\colon C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)}$ , то можно определить на факторгруппе ${\displaystyle C_{k}(X,Y)}$ граничный оператор (мы его обозначим так же) ${\displaystyle d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)}$ .

Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в ${\displaystyle 0}$ будут называться относительными циклами ${\displaystyle Z_{k}(X,Y)}$ , а цепи, которые являются его значениями — относительными границами ${\displaystyle B_{k}(X,Y)}$ . Так как ${\displaystyle dd=0}$ на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда ${\displaystyle B_{k}(X,Y)\subset Z_{k}(X,Y)}$ . Факторгруппа ${\displaystyle H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)}$ называется группой относительных гомологий .

Так как каждый абсолютный цикл в ${\displaystyle H_{k}(X)}$ является также и относительным то имеем гомоморфизм ${\displaystyle j_{k}:H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}$ По функториальному свойству вложение ${\displaystyle i_{k}:Y\to X}$ приводит к гомоморфизму ${\displaystyle i_{*}:H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}$ .

В свою очередь можно построить гомоморфизм ${\displaystyle d_{*k}:H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$ , который мы определим следующим образом. Пусть ${\displaystyle c_{k}\in C_{k}(X,Y)}$ — относительная цепь, которая определяет цикл из ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$ . Рассмотрим её как абсолютную цепь в ${\displaystyle C_{k}(X)}$ (с точностью до элементов ${\displaystyle C_{k}(Y)}$ ). Так как это относительный цикл, то ${\displaystyle d_{k}c}$ будет равен нулю с точностью до некоторой цепи ${\displaystyle c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)}$ . Положим ${\displaystyle d_{*k}}$ равным классу гомологий цепи ${\displaystyle c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)}$ .

Если мы возьмём другую абсолютную цепь ${\displaystyle c'_{k}\in C_{k}(X)}$ , определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь ${\displaystyle c=c'+u}$ , где ${\displaystyle u\in C_{k}(Y)}$ . Имеем ${\displaystyle d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u}$ , но так как ${\displaystyle d_{k}u}$ является границей в ${\displaystyle Z_{k-1}(Y)}$ то ${\displaystyle d_{k}c}$ и ${\displaystyle d_{k}c'}$ определяют один и тот же элемент в группе гомологий ${\displaystyle H_{k-1}(Y)}$ . Если взять другой относительный цикл ${\displaystyle c''}$ , дающий тот же элемент в группе относительных гомологий ${\displaystyle c=c''+b}$ , где ${\displaystyle b}$ — относительная граница, то в силу того, что ${\displaystyle b}$ граница для относительных гомологий ${\displaystyle b=d_{k+1}x+v}$ , где ${\displaystyle v\in C_{k}(Y)}$ , отсюда ${\displaystyle d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v}$ , но ${\displaystyle dd=0}$ , а ${\displaystyle d_{k}v}$ — граница в ${\displaystyle Z_{k-1}(Y)}$ .

Поэтому класс гомологий ${\displaystyle d_{*k}c_{k}}$ определен однозначно. Ясно по линейности оператора ${\displaystyle d_{*k}}$ , что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

${\displaystyle i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}$ ;

${\displaystyle j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}$ и

${\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$ ;

${\displaystyle ...\to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to ...}$

Можно доказать, что эта последовательность точна , то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Аксиомы Стинрода — Эйленберга

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии , Когомологии Александрова — Чеха , когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар ${\displaystyle D}$ топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Если ${\displaystyle (X,Y)\in D,}$ то ${\displaystyle (X,X)\in D,}$ ${\displaystyle (X,\varnothing )\in D,}$ ${\displaystyle (Y,Y)\in D}$ и ${\displaystyle (Y,\varnothing )\in D}$ .
2. Если ${\displaystyle (X,Y)\in D}$ , то и ${\displaystyle (X\times I,Y\times I)\in D}$ , где ${\displaystyle I}$ — замкнутый интервал [0,1].
3. ${\displaystyle (*,\varnothing )\in D}$ , где ${\displaystyle *}$ — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$ и непрерывному отображению пар ${\displaystyle f\colon (X,Y)\to (X',Y')}$ соответствует гомоморфизм ${\displaystyle f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')}$ (Пространство ${\displaystyle X}$ отождествляется с парой ${\displaystyle (X,\varnothing )}$ ) , а ${\displaystyle H_{k}(X)}$ с ${\displaystyle H_{k}(X,\varnothing )}$ ) , причём выполняются следующие аксиомы:

1. Тождественному отображению пары ${\displaystyle id}$ соответствует тождественный гомоморфизм ${\displaystyle id_{*k}}$ .
2. ${\displaystyle (gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}}$ ( функториальность )
3. Определен граничный гомоморфизм ${\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$ , причём если ${\displaystyle f\colon (X,Y)\to (X',Y')}$ , то для соответствующего гомоморфизма ${\displaystyle f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')}$ верно ${\displaystyle d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}}$ для любой размерности ${\displaystyle k}$ .
4. Пусть ${\displaystyle i\colon Y\to X}$ и ${\displaystyle j\colon X\to (X,Y)}$ — вложения, ${\displaystyle i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}$ и ${\displaystyle j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}$ — соответствующие гомоморфизмы, ${\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$ — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
   ${\displaystyle \ldots \to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to \ldots }$
   точна ( аксиома точности ).
5. Если отображения ${\displaystyle f,g\colon (X,Y)\to (X',Y')}$ гомотопны , то соответствующие гомоморфизмы равны ${\displaystyle f_{*k}=g_{*k}}$ для любой размерности ${\displaystyle k}$ ( аксиома гомотопической инвариантности ).
6. Пусть ${\displaystyle U\subset X}$ — открытое подмножество ${\displaystyle X}$ , причём его замыкание содержится во внутренности множества ${\displaystyle Y}$ , тогда если пары ${\displaystyle (X\setminus U,Y\setminus U)}$ и ${\displaystyle (X,Y)}$ принадлежат допустимому классу, то для любой размерности ${\displaystyle k}$ вложению ${\displaystyle (X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)}$ соответствует изоморфизм ${\displaystyle H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)}$ ( аксиома вырезания ).
7. Для одноточечного пространства ${\displaystyle H_{k}(*)=0}$ для всех размерностей ${\displaystyle k>0}$ . Абелева группа ${\displaystyle G=H_{0}(*)}$ называется группой коэффициентов ( аксиома размерности ).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе ${\displaystyle G}$ их отображения и граничный гомоморфизм ${\displaystyle d_{*}}$ удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению ${\displaystyle f\colon (X,Y)\to (X',Y')}$ соответствует ${\displaystyle f^{*k}\colon H^{k}(X',Y')\to H^{k}(X,Y)}$ ( контравариантность ) и что кограничный гомоморфизм ${\displaystyle \delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\to H^{k}(X,Y)}$ увеличивает размерность.

Экстраординарные гомологии

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей ${\displaystyle k>0}$ , называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха , Ботта и Адамса ) и теория бордизмов Р. Тома .

См. также

• Гомологическая алгебра
• Гомотопия
• Фундаментальный класс
• Гомотопические группы

Примечания

Литература

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М. : МЦНМО , 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М. : Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М. : Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М. : ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М. : МЦНМО , 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М. : Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М. : Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М. : Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т. , Фукс Д. Б. . — М. : Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5020139297 .
• Hatcher A. . — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0521795400 .