Характеристический класс — когомологический класс , сопоставляемый главному расслоению на топологическом пространстве .

История

Понятие характеристического класса появляется в 1935 в работaх и Уитни о векторных полях на многообразиях.

Определение

Характеристический класс сопоставляет главному ${\displaystyle G}$ -расслоению ${\displaystyle p:P\to X}$ элемент ${\displaystyle c_{p}\in H^{*}(X)}$ в когомологиях такой, что, если ${\displaystyle f:Y\to X}$ непрерывное отображение, и ${\displaystyle q:Q\to Y}$ индуцированное расслоение , то

${\displaystyle c_{q}=f^{*}(c_{p}),}$

где ${\displaystyle f^{*}:H^{*}(X)\to H^{*}(Y)}$ индуцированый гомоморфизм на когомологиях.

Связанные определения

Взяв ∪-npоизведение нескольких характеристических классов и подставив в него фундаментальный класс многообразия, можно получить инвариант главного расслоения, называемый характеристическим числом .

Примеры

• Класс Понтрягина
• Класс Штифеля — Уитни

Свойства

• Два многообразия бордантны тогда и только тогда, когда все их числа Штифеля — Уитни совпадают.
  • Для ориентированного бордизма требуется дополнительно совпадение всех чисел Понтрягина .

См. также

• Эйлерова характеристика

Ссылки

• Милнор Д. , Сташеф Д; Характеристические классы, 1979, с.374.
• Allen Hatcher,
• Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0 , ISBN 3-540-90422-0 .