В квантовой механике , преобразование Вигнера — Вейля (названо в честь Германа Вейля и Юджина Вигнера ) — обратимое отображение функций в представлении фазового пространства на операторы гильбертова пространства в представлении Шредингера .

Часто отображение функций заданных на фазовом пространстве в пространство операторов называется преобразованием Вейля и квантованием Вейля , в то время как обратное преобразование, от операторов к функциям в фазовом пространстве, называется преобразованием Вигнера . Это сопоставление первоначально было изобретено Германом Вейлем в 1927 году в попытке получить отображение симметризованных классических функций в фазовом пространстве на операторы, процедура, известная как квантование Вейля . Сейчас известно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые можно требовать для квантования, и поэтому иногда даёт нефизические ответы. С другой стороны, обладает некоторыми хорошими свойствами, описанными ниже. Если кто-то ищет единую непротиворечивую процедуру квантования для отображения функций в классическом фазовом пространстве на операторы, то квантование Вейля является оптимальным вариантом, хотя теорема Груневолда гласит, что не существует такого отображения, которое имеет все те свойства, которые можно было бы желать в идеале.

Преобразование Вейля — Вигнера является четко определённым интегральным преобразованием между представлениями фазового пространства и операторного пространства. Самое главное, что квазивероятностное распределения Вигнера — это преобразование Вигнера матрицы плотности , и, наоборот, матрица плотности — это преобразование Вейля функции Вигнера.

В отличие от оригинальных намерений Вейля в поиске последовательной схемы квантования, это отображение просто сводится к изменению представления квантовой механики. Для этого не нужно соединять «классические» и «квантовые» величины. Например, функции из фазового пространства могут зависеть явно от постоянной Планка ħ, как это происходит в некоторых привычных случаях, связанных с моментом импульса. Это обратимое представление позволяет построить квантовую механику в фазовом пространстве , что было сделано в 1940 году Хилбрандом Ж. Груневолдом и Хосе Энрике Моялем.

Определение квантования Вейля для наблюдаемой

Ниже описано преобразование Вейля заданном на самом простом, двухмерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты в фазовом пространстве (q,p) и f функция, определённая всюду в фазовом пространстве. В дальнейшем, предполагается что операторы Р и Q удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям , таких как привычное коммутационное соотношение между операторами координаты и импульса в представлении Шредингера. Мы предполагаем, что экспоненциальные операторы ${\displaystyle e^{iaQ}}$ и ${\displaystyle e^{ibQ}}$ представляют собой неприводимые представления соотношений Вейля, так что (гарантирующая уникальность канонических коммутационных соотношений) выполняется.

Основная формула

Преобразование Вейля (или квантование Вейля ) функции f можно выразить с помощью следующего оператора в гильбертовом пространстве,

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint \!\!\!\iint f(q,p)\rho \left(e^{i(a(Q-q)+b(P-p))}\right){\text{d}}q\,{\text{d}}p\,{\text{d}}a\,{\text{d}}b.}$

Здесь ${\displaystyle \hbar }$ это редуцированная постоянная Планка .

Проще выполнить интегрирование по p и q , которое имеет смысл вычисления обычного преобразования Фурье ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ функции ${\displaystyle f}$ , оставляя операторы ${\displaystyle e^{i(aQ+bP)}}$ без изменений. В этом случае преобразование Вейля можно записать в виде

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db}$ .

Поэтому мы можем думать об отображении Вейля следующим образом: берем обычное преобразование Фурье функции ${\displaystyle f(p,q)}$ , а затем применяя формулу обращения Фурье, мы заменяем квантовые операторы ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ для начальных классических переменных ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ , получая таким образом „квантовую версию ${\displaystyle f}$ .“

Менее симметричная форма, но и полезная для приложений, имеет вид,

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dqdpd{\tilde {x}}d{\tilde {p}}~e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|.}$

В координатном представлении

Отображение Вейля можно выразить в терминах ядра интегрального оператора для матричных элементов,

${\displaystyle \langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).}$

Обратное отображение

Обратное к вышеприведённому отображению Вейля называется отображением Вигнера , которое преобразует оператор Φ к исходной функции ядра в фазовом пространстве f ,

${\displaystyle f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q+y|\Phi [f]|q-y\rangle .}$

Если заменить ${\displaystyle \Phi [f]}$ в приведенном выше выражении произвольным оператором, то функция f может зависеть от постоянной Планка ħ , и может хорошо описывать квантово-механические процессы при условии, что она правильно составлена, то есть с использованием звёздочного произведения (см. ниже).

Квантование Вейля для полиномиальных наблюдаемых

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее понимание квантования Вейля для наблюдаемых общего вида в фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений простых наблюдаемых, таких как те, которые представляются многочленами переменных ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle p}$ . В последующих разделах мы увидим, что для таких многочленов, квантование Вейля представляет собой полностью симметричный набор упорядоченных некоммутирующих операторов ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle P}$ . Например, отображение Вигнера квадрата оператора квантового углового момента L ² — это не просто классический момент импульса в квадрате, но оно также содержит смещение −3 ħ ² /2 , которое приходится на неисчезающую часть углового момента боровской орбиты для основного состояния.

Свойства

Квантование Вейля для многочленов

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle p}$ полностью определяется следующей симметричной формулой:

${\displaystyle (aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}}$

для всех действительных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ . Из этой формулы, нетрудно показать, что квантование Вейля функции вида ${\displaystyle q^{k}p^{l}}$ даёт среднее для всех возможных упорядочиваний ${\displaystyle k}$ множителей ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle l}$ множителей ${\displaystyle P}$ . Например, для

${\displaystyle 6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.}$

Хотя этот результат концептуально понятен, он не очень удобен для вычислений, когда ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle l}$ большие. В таких случаях, мы можем использовать

${\displaystyle p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.}$

Это выражение дает явно другой ответ для случая ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ очевидно отличный от совершенно симметричного выражения выше. Тут нет никакого противоречия, однако, поскольку канонические коммутационные соотношения позволяют более чем одно выражение для одного и того же оператора. Используя коммутационные соотношения можно переписать полностью симметричную формулу для случая ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ в терминах операторов ${\displaystyle P^{2}Q^{2}}$ , ${\displaystyle QP^{2}Q}$ и ${\displaystyle Q^{2}P^{2}}$ и проверить первое выражение в формуле Маккоя для ${\displaystyle m=n=2}$ .

Считается, что квантование Вейля, среди всех схем квантования, как можно ближе к отображению скобки Пуассона в классическом случае на коммутатор в квантовом случае. (Точное соответствие невозможно, в свете теоремы Груневолда )

Теорема : Если ${\displaystyle f(q,p)}$ это полином степени не более 2 и ${\displaystyle g(q,p)}$ — произвольный многочлен, то ${\displaystyle \Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]}$ .

Квантование Вейля функций общего вида

• Если f — это вещественная функция, то её образ Вейля Φ [ f ] самосопряжен.
• Если f является элементом пространства Шварца , то Φ [ f ] — ядерный оператор в гильбертовом пространстве.
• В более общем случае, Φ [ f ] плотно определённый неограниченный оператор.
• Отображение Φ [ f ] — взаимнооднозначное соответствие на пространстве Шварца (как подпространство квадратично интегрируемых функций).

Деформационное квантование

Интуитивно, деформация математического объекта — это семейство из того же рода объектов, которые зависят от некоторого параметра(ов). Здесь, она предоставляет правила для описания того, как деформируется «классическая» коммутативная алгебра наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная идея деформационной теории заключается в том, чтобы начать с алгебраической структуры (скажем, алгебры Ли ) и спросить: существует ли одно- или более параметрическое семейство подобных структур, таких, что для начального значения параметра(ов) имеет одинаковую структуру (алгебру Ли) с начальным элементом? (Старейшей иллюстрацией этого подхода может служить представление Эратосфеном в древнем мире идеи, что сферическая Земля это деформируемая плоская Земля, с параметром деформации 1/ R _⊕ .) Поскольку алгебры функций на пространстве определяет геометрию этого пространства, то изучение звёздочного произведения приводит к изучению некоммутативной геометрии деформации этого пространства.

В вышеуказанном контексте плоского фазового пространства, например, звёздочное произведение ( произведение Мояля , фактически введенное Груневолдом в 1946 году), ★ _ħ , пары функций f ₁ , f ₂ ∈ C ^∞ (ℜ ² ) , определяется

${\displaystyle \Phi [f_{1}\star f_{2}]=\Phi [f_{1}]\Phi [f_{2}].\,}$

Звёздочное произведение не является коммутативным в целом, но переходит к обычному коммутативному произведению функций в классическом пределе ħ → 0 . Говорят, что определяют деформацию коммутативной алгебры C ^∞ (ℜ ² ) .

Для преобразования Вейля из примера выше, ★ -произведение можно записать в терминах скобки Пуассона как

${\displaystyle f_{1}\star f_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\Pi ^{n}(f_{1},f_{2}).}$

Здесь, Π — это . Оператор определён таким образом, что его степени

${\displaystyle \Pi ^{0}(f_{1},f_{2})=f_{1}f_{2}}$

и

${\displaystyle \Pi ^{1}(f_{1},f_{2})=\{f_{1},f_{2}\}={\frac {\partial f_{1}}{\partial q}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial p}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial p}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial q}}~,}$

где { f ₁ , f ₂ } — скобка Пуассона . В более общем виде,

${\displaystyle \Pi ^{n}(f_{1},f_{2})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left({\frac {\partial ^{k}}{\partial p^{k}}}{\frac {\partial ^{n-k}}{\partial q^{n-k}}}f_{1}\right)\times \left({\frac {\partial ^{n-k}}{\partial p^{n-k}}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial q^{k}}}f_{2}\right)}$

где ${\displaystyle {n \choose k}}$ — биномиальный коэффициент .

Так, например, гауссианы умножаются гиперболически ,

${\displaystyle \exp \left(-{a}(q^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(q^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(q^{2}+p^{2})\right),}$

или

${\displaystyle \delta (q)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{qp \over \hbar }\right),}$

и т. д. Эти формулы основаны на координатах, в которых бивектор Пуассона постоянен (обычные скобки Пуассона). Для общей формулы на произвольных многообразиях Пуассона, см. .

Антисимметризация этого ★ -произведения известна как скобка Мояля , правильная квантовая деформация скобки Пуассона , и изоморфизм (преобразование Вигнера) квантового коммутатора из заданного в фазовом пространстве в гильбертовое пространство (обычная формулировка квантовой механики). Она представляет собой основу уравнений для квантовомеханических наблюдаемых в представлении фазового пространства.

Эти результаты используются для формулировки квантовой механики в фазовом пространстве , что полностью эквивалентна представлению операторов в гильбертовом пространстве .

Средние значения при квантовании в фазовом пространстве получены изоморфно к следовому оператору наблюдаемых Φ из матрицы плотности в гильбертовом пространстве: они получены путем интегрирования по фазовому пространству от наблюдаемых, таких как выше f с квазивероятностным распределением Вигнера в качестве меры. Классические выражения, наблюдаемых, и операций (таких как скобки Пуассона) изменяются за счёт ħ-зависимых квантовых поправок, а обычная коммутативность умножения в классической механике обобщается на некоммутативное звёздочное умножение характеризующее квантовую механику и принцип неопределенности лежащий в её основе.

Следует подчеркнуть, однако, что, несмотря на свое название, деформационное Квантование не является успешной схемой квантования , а именно метод для создания квантовой теории из классической. Она позволяет всего лишь изменить представление из гильбертова пространства в фазовое пространство.

Обобщения

C большей обобщенностью, квантование Вейля изучается в тех случаях, когда фазовое пространство является симплектическим многообразием , или, возможно, пуассоновским многообразием. Родственные структуры включают и .

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158 {{ citation }} : Указан более чем один параметр |ISBN= and |isbn= ( справка )
• Case, William B. Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians (англ.) // American Journal of Physics : journal. — 2008. — October ( vol. 76 , no. 10 ). — P. 937—946 . — doi : . — Bibcode : . (Sections I to IV of this article provide an overview over the Wigner-Weyl transform , the Wigner quasiprobability distribution , the phase space formulation of quantum mechanics and the example of the quantum harmonic oscillator .)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4