Группа Гейзенберга — группа , состоящая из квадратных матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

где элементы a , b , c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется:

• кольцо вещественных чисел ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$ — так называемая непрерывная группа Гейзенберга, обозначается ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$ , или
• кольцо целых чисел ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ — так называемая дискретная группа Гейзенберга, обозначается ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$ , или
• кольцо вычетов ${\displaystyle R=\mathbb {Z} _{p}}$ с простым числом p — группа обозначается ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} _{p})}$ .

Названа в честь Вернера Гейзенберга , который использовал эту группу в квантовой механике: непрерывная группа Гейзенберга используется для описания одномерных квантово-механических систем.

Алгебра Гейзенберга

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ группы Гейзенберга ${\displaystyle H}$ (над полем вещественных чисел) известна как алгебра Гейзенберга. Она может быть реализована в пространстве матриц 3×3 вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}},}$

где ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ .

Следующие три матрицы образуют базис для ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ,

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$

И удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

${\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}$ .

Название "Группа Гейзенберга" мотивируется тем, что соотношения имеют ту же форму, что и каноническое коммутационное соотношение в квантовой механике ,

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]=i\hbar I;\quad \left[{\hat {x}},i\hbar I\right]=0;\quad \left[{\hat {p}},i\hbar I\right]=0,}$

где ${\displaystyle {\hat {x}}}$ — оператор координаты, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ — оператор импульса, и ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка .

Вариации и обобщения

Группа Гейзенберга обобщается на любое число измерений. Именно, группа Гейзенберга ${\displaystyle H_{n+2},\ n\geq 1,}$ состоит из квадратных матриц порядка n+2 :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&c\\0&1&0&\dots &0&b_{1}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots &b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&0&\dots &0&1&b_{n}\\0&0&\dots &\dots &0&1\\\end{pmatrix}},}$

элементы ${\displaystyle a_{i},b_{i},c}$ принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей.

Непрерывная группа Гейзенберга ${\displaystyle H_{n+2}(\mathbb {R} )}$ представляет собой связную, односвязную группу Ли (с топологией, порожденной стандартной топологией ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ), алгебра Ли которой (размерности 2n+1 ) состоит из матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&c\\0&0&0&\dots &0&b_{1}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots &b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&0&\dots &0&0&b_{n}\\0&0&\dots &\dots &0&0\\\end{pmatrix}}.}$

Примечания

Литература

• от 27 июля 2014 на Wayback Machine
• Ernst Binz & Sonja Pods . Geometry of Heisenberg Groups, — American Mathematical Society , 2008, ISBN 978-0-8218-4495-3 .
• Roger Evans Howe . On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis, — Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821.
• A.A. Kirilov . Lectures on the Orbit Method (Chapter 2: Representations and Orbits of the Heisenberg Group), — American Mathematical Society, 2004.
• Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — second. — Springer, 2015. — Vol. 222. — ISBN 978-3319134666 .