Interested Article - Симметрическая функция

Симметрическая функция от n переменных — это функция, значение которой на любом n - кортеже аргументов то же самое, что и значение на любой перестановке этого n -кортежа . Если, например, , функция может быть симметрической на всех переменных или парах , или . Хотя это может относиться к любым функциям, для которых n аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду многочлены , которые в этом случае являются симметрическими многочленами . Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется. Также обычно не важно точное число переменных, считается что их просто достаточно много. Чтобы сделать эту идею более строгой, с помощью проективного предела осуществляется переход к так называемому кольцу симметрических функций , формально содержащему бесконечное число переменных.

Симметризация

Если задана какая-либо функция f от n переменных со значениями в абелевой группе (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений f по всем перестановкам аргументов. Аналогично, антисимметрическая функция может быть построена как сумма по всем чётным перестановкам , из которой вычитается сумма по всем нечётным перестановкам. Эти операции, конечно, необратимы и могут привести к тождественно равной нулю функции для нетривиальной функции f . Единственный случай, когда f может быть восстановлена, когда известны симметризация функции и антисимметризация, это когда n = 2 и абелева группа допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению). В этом случае f равна половине суммы симметризации и антисимметризации.

Кольцо симметрических функций

Рассмотрим действие симметрической группы на кольцо многочленов от n переменных. Она действует перестановкой переменных. Как было сказано выше, симметрические многочлены в точности те, что не меняются под действием элементов этой группы. Таким образом, они образуют подкольцо :

В свою очередь, является градуированным кольцом :

, где состоит из однородных симметрических многочленов степени k , а также нулевого многочлена.

Далее с помощью проективного предела определяется кольцо симметрических функций степени k :

Наконец, получаем градуированное кольцо , которое и называется кольцом симметрических функций.

Замечания.

  • не является проективным пределом (в категории колец). Например, бесконечное произведение не содержится в , т.к. содержит мономы сколь угодно большой степени.
  • "Определитель" также не имеет аналога в .

Базисы в пространстве симметрических функций

  • Мономиальный базис. Для каждого разбиения определим моном Он не является симметрическим многочленом, а также содержит лишь конечное число переменных, входящих в него с ненулевой степенью. Теперь просуммируем множество мономов , получаемых из него всевозможными перестановками индексов (каждый моном суммируется лишь один раз, даже если его можно получить с помощью нескольких различных перестановок): . Легко понять, что такие, что образуют базис , а значит все образуют базис , который называется мономиальным.
  • Элементарные симметрические функции. Для каждого целого определим — сумму всех возможных произведений из r различных переменных. Таким образом, , при :
Для каждого разбиения элементарная симметрическая функция это Они образуют базис в пространстве .
  • Полные симметрические функции. Для каждого целого определим — сумму всех мономиальных функций степени r . Таким образом, , при :
Далее, как и случае элементарных функций, положим
  • Степенные суммы. Для каждого степенной суммой называется .

Для разбиения степенная сумма определяется как

Тождества.

  • , для всех k > 0 ,
  • , для всех k > 0 ,
  • , для всех k > 0 .

Соотношения для производящих функций.

Легко показать, что

Также

Отсюда следует соотношение

Наконец, .

Аналогично получаем .

  • Функции Шура . Пусть имеется конечное число переменных и дано разбиение такое, что (длина разбиения не превосходит число переменных). Тогда многочленом Шура разбиения от n переменных называется — однородный симметрический многочлен степени . При эти многочлены сходятся к единственному элементу , называемому функцией Шура разбиения .
  • Функции Джека . При введении особого скалярного произведения на являются обобщением функций Шура, сохраняя многие из их свойств.

Приложения

U-статистика

В статистике статистика на n -выборке (функция от n переменных), полученная путём бутстрэпа симметризации статистики на выборке из k элементов, даёт симметрическую функцию от n переменных, называемую . Примеры включают выборочное среднее и выборочную дисперсию .

См. также

Примечания

  1. , с. 121.

Литература

  • Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR :
  • Symmetric Functions and Hall Polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 1st edition (неопр.) . — 1979.
  • . Симметрические функции и многочлены Холла. — Мир , 1984. — 224 с.
  • David F. N., Kendall M. G. , Barton D. E. Symmetric Function and Allied Tables. — Cambridge University Press , 1966.
  • Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Combinatorics: The Rota Way. — Cambridge University Press, 2009. — xii+396 с. — ISBN 978-0-521-73794-4 .
    — §5.1 Symmetric functions, p. 222–225.
    — §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, p. 259–270.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М. : «Наука», 1979.
    — §33. Симметрические функции, с. 121.
Источник —

Same as Симметрическая функция