Кольцо многочленов — кольцо , образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе , конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов .

Многочлены от одной переменной над полем

Многочлены

Многочлен от x с коэффициентами в поле k — это выражение вида

${\displaystyle p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0},}$

где p ₀ , …, p _m — элементы k , коэффициенты p , а x , x ² , … — формальные символы («степени x »). Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с алгебраическими выражениями (коммутативность сложения, дистрибутивность , приведение подобных членов и т. д.). Члены p _k x ^k с нулевым коэффициентом p _k при записи обычно опускаются. Используя символ суммы, многочлены записывают в более компактном виде:

${\displaystyle p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0}=\sum _{k=0}^{m}p_{k}x^{k}.}$

Кольцо многочленов k [ x ]

Множество всех многочленов с коэффициентами в ${\displaystyle k}$ образует коммутативное кольцо , обозначаемое ${\displaystyle k[x]}$ и называемое кольцом многочленов над ${\displaystyle k}$ . Символ ${\displaystyle x}$ обычно называют «переменной», эта терминология возникла из рассмотрения полиномиальных функций над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Однако, в общем случае многочлены и полиномиальные функции — это разные вещи; например, над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ из простого числа ${\displaystyle p}$ элементов многочлены ${\displaystyle x^{1}}$ и ${\displaystyle x^{p+1}}$ задают одну и ту же функцию, но это разные многочлены (многочлены считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают все коэффициенты). Следовательно, переменную ${\displaystyle x}$ нельзя считать принадлежащей полю ${\displaystyle k}$ ; о кольце ${\displaystyle k[x]}$ можно думать так: мы добавляем во множество элементов поля новый элемент ${\displaystyle x}$ и требуем только того, чтобы выполнялись аксиомы кольца и чтобы ${\displaystyle x}$ коммутировал с элементами поля.

Поскольку элементы кольца многочленов можно умножать на « скаляры » из поля ${\displaystyle k}$ , оно фактически является ассоциативной алгеброй над полем ${\displaystyle k}$ . Если рассматривать ${\displaystyle k[x]}$ как векторное пространство (то есть «забыть» об умножении), оно имеет бесконечный базис из элементов ${\displaystyle 1=x^{0}}$ , ${\displaystyle x=x^{1}}$ , ${\displaystyle x^{2}}$ и т. д.

Разложение на простые в k [ x ]

В кольце k [ x ] один многочлен можно разделить на другой (например, воспользовавшись алгоритмом деления столбиком ) с остатком. При этом степень остатка будет меньше, чем степень делителя, это делает функцию «степень многочлена» евклидовой функцией , а кольцо многочленов — евклидовым . Из этого следует, что в кольце многочленов можно осуществить алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя , а значит, существует разложение на простые (такие кольца называются факториальными ). Из этого также следует, что k [ x ] — область главных идеалов .

Факторкольца k [ x ]

Рассмотрим коммутативное кольцо L , содержащее поле k , такое что существует элемент θ кольца L , причем L порождается θ над k , то есть любой элемент L можно выразить через θ и коэффициенты из поля k с помощью операций сложения и умножения. Тогда существует единственный гомоморфизм колец φ из k [ x ] в L , «сохраняющий» k и отправляющий x в θ . Сюръективность этого отображения означает в точности то, что L порождется θ над k . Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме , получаем, что L изоморфно факторкольцу k [ x ] по ядру φ ; поскольку любой идеал в k [ x ] главный ,

${\displaystyle L\simeq k[x]/(p).}$

Важный частный случай — когда кольцо, содержащее k , само является полем; обозначим его K . Простота фактормодуля по ${\displaystyle (p)}$ равносильна неприводимости ${\displaystyle p}$ . Теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение может быть порождено одним элементом, и, следовательно, имеет вид фактора кольца многочленов над меньшим полем по неприводимому многочлену. В качестве примера можно привести поле комплексных чисел , которое порождено над R элементом i , таким что i ² + 1 = 0 . Соответственно, многочлен x ² + 1 неприводим над R и

${\displaystyle \mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1).}$

Более общо, для произвольного (даже некоммутативного) кольца A , содержащего k и элемента a кольца A , коммутирующего со всеми элементами k , существует единственный гомоморфизм колец из k [ x ] в A , отправляющий x в a :

${\displaystyle \phi :k[x]\to A,\quad \phi (x)=a.}$

Существование и единственность такого гомоморфизма выражается с помощью определенного универсального свойства кольца многочленов и объясняет определенную «уникальность» кольца многочленов в различных конструкциях теории колец и коммутативной алгебры .

Модули

k [ x ] — область главных идеалов , поэтому к модулям над ним применима соответствующая структурная теорема . Эта классификация важна в теории линейных операторов , так как модули над k [ x ] взаимно-однозначно соответствуют линейным операторам на k -векторном пространстве.

Многочлены над кольцом

Многочлены над кольцом определяются совершенно аналогично многочленам над полем, однако большая часть перечисленных выше свойств для них перестаёт быть верной. Во-первых, к многочленам над произвольным кольцом нельзя применить алгоритм деления столбиком — ведь в кольце невозможно делить даже на многочлены нулевой степени (константы). Следовательно, в общем случае кольцо многочленов не является евклидовым (и даже областью главных идеалов), однако R [ x ] останется факториальным в том случае, если само R факториально. В этом же смысле при переходе к кольцу многочленов сохраняются свойства целостности и нётеровости (последний результат известен как теорема Гильберта о базисе ).

Многочлены от нескольких переменных

Определение

Многочлен от n переменных X ₁ ,…, X _n с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса α = ( α ₁ ,…, α _n ), где каждое α _i — ненулевое целое число, пусть

${\displaystyle X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{\alpha _{i}}=X_{1}^{\alpha _{1}}\ldots X_{n}^{\alpha _{n}},\quad p_{\alpha }=p_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}}\in \mathbb {K} .\ }$

X ^α называется одночленом степени ${\displaystyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}$ . Многочлен — это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K : ${\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }}$ .

Многочлены от n переменных с коэффициентами в поле k (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое k [ x ₁ ,…, x _n ]. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятие кольца многочленов над данным кольцом». Например, k [ x ₁ , x ₂ ] изоморфно k [ x ₁ ][ x ₂ ], как и k [ x ₂ ][ x ₁ ]. Это кольцо играет фундаментальную роль в алгебраической геометрии . Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.

Теорема Гильберта о нулях

Несколько фундаментальных результатов, касающихся взаимосвязи между идеалами кольца k [ x ₁ ,…, x _n ] и алгебраическими подмногообразиями k ⁿ известны под общим именем теоремы Гильберта о нулях.

• ( слабая форма, алгебраически замкнутое поле ) Пусть k — алгебраически замкнутое поле . Тогда любой максимальный идеал m кольца k [ x ₁ ,…, x _n ] имеет вид

${\displaystyle m=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n}),\quad a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}.}$

• ( слабая форма, любое поле коэффициентов ) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле , содержащее k и I — идеал в кольце k [ x ₁ ,…, x _n ]. Тогда I содержит 1 в том и только в том случае, когда многочлены из I не имеют общего нуля в K ⁿ .
• ( сильная форма ) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле , содержащее k , I — идеал в кольце k [ x ₁ ,…, x _n ] и V ( I ) — алгебраическое подмногообразие , K ⁿ определенное I . Пусть f — многочлен, равный нулю во всех точках V ( I ). Тогда некоторая степень f принадлежит идеалу I .

Если использовать определение радикала идеала , эта теорема утверждает, что f принадлежит радикалу I . Немедленное следствие из этой формы теоремы — существование биективного соответствия между радикальными идеалами K [ x ₁ ,…, x _n ] и алгебраическими подмногообразиями n -мерного аффинного пространства K ⁿ .

См. также

• Формальный степенной ряд
• Ряд Лорана

Литература

• Tsit-Yuen Lam. A First Course in Noncommutative Rings. — Berlin, New York: Springer-Verlag , 2001. — ISBN 978-0-387-95325-0 .
• Serge Lang. Algebra. — 3rd. — New York: Springer-Verlag, 2002. — Т. 211. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95385-4 .
• M. Scott Osborne. Basic homological algebra. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000. — Т. 196. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-98934-1 .