Interested Article - Внутренняя метрика

Внутренняя метрика метрика в пространстве , определяемая с помощью функционала длины, как инфимум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.

Определения

Метрика на пространстве называется внутренней , если для любых двух точек расстояние между ними определяется формулой где обозначает длину пути и точная нижняя грань берётся по всем путям , соединяющим точки .

Связанные определения

  • Пусть — две произвольные точки метрического пространства и — произвольное положительное число. Точка называется их -серединой , если
  • Метрическое пространство называется геодезическим , если любые две точки можно соединить кратчайшей .

Свойства

  • Если — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек и любого существует их -середина .
    • Лемма Менгера: В случае, когда метрическое пространство полное , имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек и любого существует их -середина , то эта метрика внутренняя.
  • Полное метрическое пространство с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек и найдётся кривая длины соединяющая точки и .
  • В полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
  • Теорема Хопфа — Ринова : Если локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки можно соединить кратчайшей. Более того, пространство является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества являются компактными ).
  • Локально компактное пространство с внутренней метрикой является геодезическим.

Примеры

Литература

  • Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. , Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4
Источник —

Same as Внутренняя метрика