Пространство Калаби — Яу
- 1 year ago
- 0
- 0
Метризуемое пространство — топологическое пространство , гомеоморфное некоторому метрическому пространству . Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой .
Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки. Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.
Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство ) со счётной базой метризуемо. ( П. С. Урысон и А. Н. Тихонов )
Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и П. С. Урысоном . На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:
На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.
Критерий Бинга аналогичен, но в нём вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База пространства называется регулярной (равномерной), если для всякой точки и любой её окрестности найдется окрестность этой точки такая, что число элементов базы , пересекающих одновременно и дополнение к , конечно (соответственно, если множество элементов таких что , конечно).
По теореме Ковальского , счётная степень ежа колючести (при ) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса . Таким образом, пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подпространству счётной степени ежа некоторой колючести .
Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости компакта любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:
Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности и аксиома отделимости , причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).
Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой ; таково, например, пространство рациональных чисел . Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и полно по Чеху , то есть является множеством типа G δ в некотором содержащем его компакте. Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра : пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.
К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам — вполне регулярные пространства , обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и .
Пространство называется локально метризуемым , если каждая его точка имеет метризуемую окрестность.
Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства — путём отказа от аксиомы неравенства треугольника . В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.