Метризуемое пространство — топологическое пространство , гомеоморфное некоторому метрическому пространству . Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой .

Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки. Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.

Необходимые условия метризуемости

• В метризуемом пространстве выполняются сильные аксиомы отделимости : они нормальны и даже коллективно нормальны .
• Каждое метризуемое пространство паракомпактно .
• Все метризуемые пространства удовлетворяют первой аксиоме счётности .
• Для любого метризуемого пространства совпадают число Суслина , число Линделёфа , плотность , спред , экстент , вес .

Достаточное условие метризуемости

Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство ) со счётной базой метризуемо. ( П. С. Урысон и А. Н. Тихонов )

Эквивалентные условия метризуемости

Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и П. С. Урысоном . На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:

• пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно и обладает счётным измельчающимся множеством открытых покрытий ;
• (критерий Стоуна — Архангельского) Пространство метризуемо, в том и только в том случае, когда оно обладает счётным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет ${\displaystyle T_{1}}$ -аксиоме отделимости. При этом множество открытых покрытий пространства ${\displaystyle X}$ называется фундаментальным, если для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ , каждой её окрестности ${\displaystyle U_{x}}$ найдутся покрытие ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ и окрестность ${\displaystyle O_{x}}$ точки ${\displaystyle x}$ такие, что каждый элемент покрытия ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ , пересекающийся с ${\displaystyle O_{x}}$ , содержится в ${\displaystyle U_{x}}$ .

На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.

• Критерий Нагаты — Смирнова: пространство ${\displaystyle X}$ метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой , распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.

Критерий Бинга аналогичен, но в нём вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ пространства ${\displaystyle X}$ называется регулярной (равномерной), если для всякой точки ${\displaystyle x\in X}$ и любой её окрестности ${\displaystyle O_{x}}$ найдется окрестность ${\displaystyle U_{x}}$ этой точки такая, что число элементов базы ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ , пересекающих одновременно ${\displaystyle U_{x}}$ и дополнение к ${\displaystyle O_{x}}$ , конечно (соответственно, если множество элементов ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ таких что ${\displaystyle \Omega \ni x}$ , ${\displaystyle \Omega \not \subset O_{x}}$ конечно).

• Пространство ${\displaystyle X}$ метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.
• Для метризуемости ${\displaystyle T_{1}}$ -пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.

По теореме Ковальского , счётная степень ежа колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ (при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}}$ ) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ . Таким образом, пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подпространству счётной степени ежа некоторой колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ .

Частные случаи

Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости компакта ${\displaystyle X}$ любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:

• ${\displaystyle X}$ обладает счётной базой ;
• ${\displaystyle X}$ обладает точечно-счётной базой ;
• в ${\displaystyle X}$ есть счётная сеть ;

Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности и аксиома отделимости ${\displaystyle T_{0}}$ , причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).

О полноте

Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой ; таково, например, пространство рациональных чисел . Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и полно по Чеху , то есть является множеством типа G _δ в некотором содержащем его компакте. Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра : пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

Вариации и обобщения

К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам — вполне регулярные пространства , обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и .

Пространство называется локально метризуемым , если каждая его точка имеет метризуемую окрестность.

Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства — путём отказа от аксиомы неравенства треугольника . В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.

Примечания

Литература

• Александров, Павел Сергеевич, Борис Алексеевич Пасынков. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1973.