Нормированное пространство — векторное пространство с заданной на нём нормой ; один из основных объектов изучения функционального анализа .

Более точно: нормированным пространством называется пара ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ из векторного пространства ${\displaystyle X}$ над полем действительных или комплексных чисел и отображения ${\displaystyle \|\cdot \|\colon X\to \mathbb {R} }$ таких, что выполняются следующие свойства для любых ${\displaystyle x,y\in X}$ и скаляра ${\displaystyle \lambda }$ :

• ${\displaystyle \|x\|\geqslant 0,\;\|x\|=0\Rightarrow x=0}$ (положительная определённость)
  
  
• ${\displaystyle \|\lambda x\|=|\lambda |\cdot \|x\|}$ ( однородность )
  
  
• ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|}$ ( неравенство треугольника )

Норма является естественным обобщением понятия длины вектора в евклидовом пространстве , таким образом, нормированные пространства — векторные пространства, оснащённые возможностью определения длины вектора.

Полунормированным пространством называется пара ${\displaystyle \left(X,p\right)}$ , где ${\displaystyle X}$ — векторное пространство , а ${\displaystyle p}$ — полунорма в ${\displaystyle X}$ .

Метрика

В нормированном пространстве функция ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ определяет (индуцирует) метрику . Определённая таким образом метрика, в дополнение к обычным свойствам метрики, обладает также следующими свойствами:

• ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ (инвариантность относительно сдвига),
• ${\displaystyle d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |\cdot d(x,y)}$ (положительная однородность).

Не во всяком метрическом векторном пространстве может быть определена норма.

Если пространство ${\displaystyle X}$ по индуцированной метрике является полным , то нормированное пространство по определению является банаховым . Не всякое нормированное пространство является банаховым, но любое нормированное пространство обладает пополнением до банахова.

Топологическая структура

Для любого полунормированного векторного пространства возможно задать расстояние между двумя векторами ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v} }$ как ${\displaystyle \left\Vert \mathbf {u} -\mathbf {v} \right\Vert }$ . Такое полунормированное пространство с определённым таким образом расстоянием называется , в котором мы можем определить такие понятия как непрерывность и сходимость . Более абстрактно, любое полунормированное векторное пространство является топологическим векторным пространством и, таким образом, несёт топологическую структуру, порождённую полунормой.

Особый интерес представляют полные нормированные пространства, называемые банаховыми пространствами . Любое нормированное векторное пространство ${\displaystyle V}$ находится как плотное подпространство внутри банахова пространства, а это банахово пространство однозначно определяется пространством ${\displaystyle V}$ и называется пространства ${\displaystyle V}$ .

Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны с топологической точки зрения, так как они порождают одну и ту же топологию. А так как любое евклидово пространство полно, мы можем сделать вывод, что все конечномерные векторные пространства являются банаховыми пространствами. Нормированное векторное пространство ${\displaystyle V}$ конечномерно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle B=\{x\colon \left\Vert x\right\Vert \leqslant 1\}}$ компактен , что может быть тогда и только тогда, когда ${\displaystyle V}$ локально-компактно .

Топология полунормированного вектора обладает несколькими интересными свойствами. Взяв ${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(0\right)}$ около ${\displaystyle 0}$ , возможно построить все остальные окрестностные системы как:

${\displaystyle {\mathcal {N}}\left(x\right)=x+{\mathcal {N}}\left(0\right):=\left\{x+N\mid N\in {\mathcal {N}}\left(0\right)\right\}}$

с помощью

${\displaystyle x+N:=\left\{x+n{\bar {n}}\in N\right\}}$ .

Более того, существует для ${\displaystyle 0}$ , состоящий из и выпуклых множеств . Так как это свойство очень полезно в функциональном анализе , обобщения нормированных векторных пространств с этим свойством изучаются как .

Линейные отображения и двойственные пространства

Наиболее важными отображениями между двумя нормированными векторными пространствами являются непрерывные линейные отображения . Нормированные векторные пространства с такими отображениями образуют категорию .

Норма — это непрерывная функция в своём векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны.

Изометрией между двумя нормированными векторными пространствами называется линейное отображение ${\displaystyle f}$ , сохраняющее норму (то есть ${\displaystyle \left\Vert f\left(\mathbf {v} \right)\right\Vert =\left\Vert \mathbf {v} \right\Vert }$ для всех векторов ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ). Изометрии всегда непрерывны и инъективны . Сюръективная изометрия между нормированными векторными пространствами ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ называется . Изометрически изоморфные нормированные векторные пространства можно считать равноправными для практически любых целей.

Говоря о нормированных векторных пространствах, мы должны упомянуть двойственные пространства . Двойственное пространство ${\displaystyle V'}$ нормированного векторного пространства ${\displaystyle V}$ — это пространство всех непрерывных линейных отображений из ${\displaystyle V}$ на основное поле (поле комплексных или действительных чисел), а такие линейные отображения называются функционалами . Норма функционала ${\displaystyle \varphi }$ определяется как:

${\displaystyle \left\Vert \varphi \right\Vert =\sup \left\vert \varphi \left(\mathbf {v} \right)\right\vert \qquad \forall \mathbf {v} :\left\Vert \mathbf {v} \right\Vert =1}$ .

Введение такой нормы превращает ${\displaystyle V'}$ в нормированное векторное пространство. Важным результатом о непрерывных линейных функционалах в нормированных векторных пространствах является теорема Хана — Банаха .

Нормированные пространства как фактор пространства полунормированных пространств

Определения многих нормированных пространств (например, банахова пространства ) включают полунорму, определённую в векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как факторпространство с помощью подпространства элементов, чья полунорма равна нулю. Например, в случае пространств ${\displaystyle L_{p}}$ , функция, определяемая как:

${\displaystyle \left\Vert f\right\Vert _{p}=\left(\int \left\vert f\left(x\right)\right\vert ^{p}\;dx\right)^{\frac {1}{p}}}$ ,

является полунормой в векторном пространстве всех функций, интеграл Лебега от которых (справа) определён и конечен.

Однако полунорма равна нулю для всех функций, носитель которых имеет нулевую меру Лебега . Эти функции образуют подпространство, которое «вычёркивается», что делает их эквивалентными нулевой функции.

Конечные произведения пространств

Для данных ${\displaystyle n}$ полунормированных пространств ${\displaystyle X_{i}}$ с полунормами ${\displaystyle p_{i}}$ мы можем определить произведение пространств как

${\displaystyle x{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$

с векторным сложением, определённым как

${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right),}$

и скалярным умножением, определённым как

${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$

Определим новую функцию ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p:X\mapsto \mathbb {R} }$

как

${\displaystyle p:\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\to \sum _{i=1}^{n}p_{i}\left(x_{i}\right),}$

которая будет полунормой в ${\displaystyle X}$ . Функция ${\displaystyle p}$ будет нормой тогда и только тогда, когда все ${\displaystyle p_{i}}$ являются нормами.

См. также

• — обобщения полунормированных векторных пространств
• Строго нормированное пространство
• Равномерно выпуклое пространство

Примечания