Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами . Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975 г. , а затем переоткрыта и обобщена М. Л. Громовым в 1981 г. . Громов использовал эту метрику в доказательстве теоремы о группах полиномиального роста .

Определение

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях ${\displaystyle X\hookrightarrow Z}$ и ${\displaystyle Y\hookrightarrow Z}$ в общее метрическое пространство ${\displaystyle Z}$ . При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам ${\displaystyle Z}$ .

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ в дизъюнктном объединении ${\displaystyle X\sqcup Y}$ , снабжённым метрикой ${\displaystyle \rho }$ такой, что сужение ${\displaystyle \rho }$ на ${\displaystyle X}$ совпадает с метрикой на ${\displaystyle X}$ и сужение ${\displaystyle \rho }$ на ${\displaystyle Y}$ совпадает с метрикой на ${\displaystyle Y}$ . При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам ${\displaystyle \rho }$ .

Комментарии

• Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ » говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ ».
• Расстояние между изометрическими классами ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ обычно обозначается ${\displaystyle d_{GH}(X,Y)}$ или ${\displaystyle |X,Y|_{GH}}$ .
• Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается ${\displaystyle GH}$ , ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ или ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ .
• Собственный класс метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрий обозначается ${\displaystyle {\mathcal {GH}}}$ .

Связанные определения

• Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств ${\displaystyle X_{n}}$ сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства ${\displaystyle X_{\infty }}$ , если ${\displaystyle d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$

Свойства

• Метрическое пространство ${\displaystyle GH}$ является линейно связным , полным , сепарабельным .
  • Более того, ${\displaystyle M}$ является геодезическим ; то есть, любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками.
• Пространство Громова — Хаусдорфа ${\displaystyle GH}$ глобально неоднородно; то есть, его группа изометрий тривиальна , однако локально имеется много нетривиальных изометрий .
• Пространство ${\displaystyle GH}$ изометрично пространству классов конгруэнтности компактных подмножеств пространства Урысона ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ с метрикой Хаусдорфа с точностью до движения ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ .
• Любое вполне равномерно ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
  • Семейство ${\displaystyle X}$ метрических пространств называется вполне равномерно ограниченным , если диаметры всех пространств этого семейства ограничены одной и той же константой, и для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое целое положительное число ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ , что любое пространство из ${\displaystyle X}$ допускает ${\displaystyle \varepsilon }$ -сеть из не более чем ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ точек.
  • Из этого свойства, в частности, следует теорема Громова о компактности , аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.

Вариации и обобщения

• В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром , снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
• Если разрешить метрике принимать значение ${\displaystyle \infty }$ , то можно также отказаться от конечности диаметра.

Примечания

Литература

• M. Gromov . «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
• M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4 .