Interested Article - Метрика Громова — Хаусдорфа

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами . Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975 г. , а затем переоткрыта и обобщена М. Л. Громовым в 1981 г. . Громов использовал эту метрику в доказательстве теоремы о группах полиномиального роста .

Определение

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств $X$ и $Y$ определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях $X\hookrightarrow Z$ и $Y\hookrightarrow Z$ в общее метрическое пространство $Z$ . При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам $Z$ .

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между $X$ и $Y$ в дизъюнктном объединении $X\sqcup Y$ , снабжённым метрикой $\rho$ такой, что сужение $\rho$ на $X$ совпадает с метрикой на $X$ и сужение $\rho$ на $Y$ совпадает с метрикой на $Y$ . При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам $\rho$ .

Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами $X$ и $Y$ » говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между $X$ и $Y$ ».
Расстояние между изометрическими классами $X$ и $Y$ обычно обозначается $d_{GH}(X,Y)$ или $|X,Y|_{GH}$ .
Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается $GH$ , ${\mathcal {M}}$ или ${\mathfrak {M}}$ .
Собственный класс метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрий обозначается ${\mathcal {GH}}$ .

Связанные определения

Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств $X_{n}$ сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства $X_{\infty }$ , если $d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\to 0$ при $n\to \infty$

Свойства

Метрическое пространство $GH$ $GH$ является линейно связным , полным , сепарабельным .
- Более того, $M$ является геодезическим ; то есть, любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками.
Пространство Громова — Хаусдорфа $GH$ глобально неоднородно; то есть, его группа изометрий тривиальна , однако локально имеется много нетривиальных изометрий .
Пространство $GH$ изометрично пространству классов конгруэнтности компактных подмножеств пространства Урысона ${\mathcal {U}}$ с метрикой Хаусдорфа с точностью до движения ${\mathcal {U}}$ .
Любое вполне равномерно ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
- Семейство $X$ метрических пространств называется вполне равномерно ограниченным , если диаметры всех пространств этого семейства ограничены одной и той же константой, и для любого $\varepsilon >0$ существует такое целое положительное число $N(\varepsilon )$ , что любое пространство из $X$ допускает $\varepsilon$ -сеть из не более чем $N(\varepsilon )$ точек.
- Из этого свойства, в частности, следует теорема Громова о компактности , аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.

Вариации и обобщения

В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром , снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
Если разрешить метрике принимать значение $\infty$ , то можно также отказаться от конечности диаметра.

Примечания

D. Edwards, « от 4 марта 2016 на Wayback Machine », in «Studies in Topology», Academic Press, 1975
A. Tuzhilin, « от 20 декабря 2016 на Wayback Machine (2016)», arXiv:1612.00728
M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, 29 ноября 2016 года.
A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), (PDF) , arXiv:1504.03830 {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка )
A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), (PDF) , arXiv:1806.02100 от 13 июня 2018 на Wayback Machine
A. Ivanov, A. Tuzhilin (2015), (PDF) , arXiv:1611.04484 от 13 июня 2018 на Wayback Machine
A. Petrunin. Pure metric geometry: introductory lectures (англ.) . — 2020. arXiv :

Литература

M. Gromov . «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4 .