Метрика Васерштейна — естественная метрика на пространстве вероятностных мер в метрическом пространстве .

Интуитивно, если каждая мера измеряет распределение «грунта» по метрическому пространству М , то расстояние Васерштейна измеряет минимальную стоимость преобразования одного распределения грунта в другое, в простейшем случае предполагается, что стоимость прямо пропорциональна количеству грунта и расстоянию, на которое его надо перетащить.

Название «метрика Васерштейна» было предложено Добрушиным в 1970 году, в честь ( англ. ), который рассматривал её в 1969 году.

Определение

Пусть ( M , d ) — метрическое пространство , для которого каждая вероятностная мера на М является мерой Радона .

Для р ≥ 1, пусть Р _p ( М ) обозначает совокупность всех вероятностных мер μ на M с конечным p -м моментом : то есть для некоторой (а значит и для любой) точки х ₀ в М , имеем

${\displaystyle \int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .}$

Тогда p -я метрика Васерштейна W _р ( μ , ν ) между двумя вероятностными мерами μ и ν в Р _p ( М ) определяется как

${\displaystyle W_{p}(\mu ,\nu ):=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int _{M\times M}d(x,y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p},}$

где Γ( μ , ν ) обозначает совокупность всех мер по M × M с маргинальными (частными) распределениями μ и ν для первого и второго параметров соответственно. (Множество мер Γ( μ , ν ) также называют совокупность всех спариваний μ с ν .)

Свойства

• Сходимость в этой метрике ${\displaystyle W_{p}}$ эквивалентна слабой сходимости мер плюс сходимость первого p -го момента.

• Дуальное определение W ₁ является частным случаем теоремы двойственности Канторовича — Рубинштейна (1958): если μ и ν имеют ограниченный носитель, то

  ${\displaystyle W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right\},}$

где супремум берётся по всем 1- липшицевым функциям f .

• Для любого p ≥ 1, метрическое пространство ( P _p ( М ), W _р ) является сепарабельным и полным , если ( М , d ) сепарабельно и полнo .

См. также

• Транспортная задача

Примечания

Литература

• Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; . The variational formulation of the Fokker-Planck equation (англ.) // SIAM J. Math. Anal. : journal. — 1998. — Vol. 29 , no. 1 . — P. 1—17 (electronic) . — ISSN . — doi : .
• Rüschendorf, L. (2001), , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4