Категория метрических пространств или Met — категория , объектами которой являются метрические пространства , а морфизмами — короткие отображения . (Поскольку композиция из двух коротких отображений является коротким, эти объекты и морфизмы действительно образуют категорию.)

Начало изучению этой категории было дано Джоном Исбелом .

Стрелки

Мономорфизмы в Met являются инъективными короткими отображениями. Эпиморфизмы — короткие отображения с везде плотным образом. Изоморфизмы — изометрии .

Например, включение рациональных чисел в вещественные числа является мономорфизмом и эпиморфизмом, но не изоморфизмом.

Пустое метрическое пространство является начальным объектом Met ; любое одноточечное метрическое пространство является терминальным объектом . Поскольку начальный объект и конечные объекты различаются, в Met нет нулевых объектов .

Инъективные объекты в Met называются инъективными метрическими пространствами . Инъективные метрические пространства были введены и изучены сначала , до изучения Met как категории; они также могут быть определены внутренне в терминах свойства Хелли их метрических шаров, и из-за этого альтернативного определения их назвали гипервыпуклыми пространствами. Любое метрическое пространство имеет наименьшее инъективное метрическое пространство, в которое оно может быть встроено изометрически, называемое его инъективной оболочкой .

Произведения

Произведение конечного множества метрических пространств в Met является прямым произведением пространств с расстоянием в пространстве произведений определяется как сумма расстояний в координатных пространствах.

Произведение бесконечного множества метрических пространств может не существовать, поскольку расстояния в базовых пространствах могут не иметь супремума. То есть, Мет не является полной категорией , но она конечно замкнута. В Met нет копроизведения .

Вариации и обобщения

Met не единственная категория, чьи объекты являются метрическими пространствами; другие включают категорию равномерно непрерывных функций , категорию липшицевых функций и категорию квазилипшицевых отображений. Короткие отображения являются как равномерно непрерывными, так и липшицевыми, с постоянной Липшица не более единицы.

Также оказывается удобно расширить категорию метрических пространств, разрешив например расстояниям принимать значение ${\displaystyle \infty }$ или переходу к преметрическим пространствам, то есть отказавшись от нереавенства треугольника и симметрии для метрики.

Ссылки

• ; Panitchpakdi, P. (1956), , Pacific Journal of Mathematics , 6 : 405—439, doi :
• ; Deza, Elena (2009), ,
• Isbell, J. R. (1964), , Comment. Math. Helv. , 39 : 65—76, doi :