Interested Article - Ультраметрическое пространство

В ультраметрическом пространстве у треугольника не бывает самой длинной стороны: либо равны все три, либо одна короче, а остальные две — равны

Ультраметрическое пространство — особый случай метрического пространства , в котором метрика удовлетворяет усиленному неравенству треугольника :

d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\}

Такую метрику называют ультраметрикой . Проще говоря, в ультраметрическом пространстве нельзя получить большее расстояние, складывая меньшие, то есть не соблюдается « принцип Архимеда ».

Определение

Ультраметрическое пространство — это пара $(M,d)$ , где $M$ — множество, а $d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ — вещественнозначная функция на нём, также называемая метрикой , удовлетворяющая следующим условиям:

$d(x,y)\geqslant 0,d(x,y)=0\iff x=y$ ( положительная определённость )
$d(x,y)=d(y,x)$ ( симметричность )
$d(x,z)\leqslant \max\{d(x,y),d(y,z)\}$ ( сильное неравенство треугольника )

Ультраметрическое пространство отличается от метрического тем, что неравенство треугольника заменено на усиленное неравенство треугольника.

Свойства

Всякий треугольник является равнобедренным, причём если не все его стороны равны, то одна — короче, чем две других.
Всякая точка шара является его центром.
Если два шара имеют общую точку, то либо они совпадают, либо один целиком содержит другой.
Топология ультраметрического пространства является вполне разрывной .

Примеры

Дискретная метрика (то есть расстояние между двумя точками равно 0, если они совпадают, и 1 если не совпадают) является ультраметрикой.
Метрика на $1,2,\dots ,n,\dots$ такая, что $d(n,m)=d_{n}$ при $n<m$ , и $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant ...d_{n}\geqslant ...\geqslant 0$ .
Множество слов произвольной длины некоторого алфавита $\Sigma$ с ультраметрикой, заданной как $d(a,b)=2^{-n}$ , где $n$ — номер первого символа, различного в словах $a$ и $b$ .
p-адические числа образуют ультраметрическое пространство с естественной ультраметрикой.
Модели, наделённые естественной ультраметрикой, возникают в теории информации при исследовании последовательностей символов и в физике твёрдого тела при изучении спиновых стёкол .