В теории категорий подобъект — это, грубо говоря, объект, который содержится в другом объекте категории. Определение обобщает более старые понятия подмножества в теории множеств и подгруппы в теории групп. Поскольку «настоящее» строение объектов в теории категорий не рассматривается, определение опирается на использование морфизмов, а не «элементов».

Определение

Пусть A — объект некоторой категории. Имея два мономорфизма :

u : S → A и

v : T → A

с общим образом A , будем говорить что u ≤ v если u «пропускается через» v , то есть если существует морфизм w : S → T , такой что u = v ∘ w . Определим следующее бинарное отношение:

u ≡ v тогда и только тогда, когда u ≤ v и v ≤ u .

Это отношение эквивалентности на мономорфизмах с образом A , назовём его классы эквивалентности подобъектами A . Мономорфизмы с образом A и отношением ≤ образуют предпорядок , но определение подобъекта гарантирует, что подобъекты A образуют частично упорядоченное множество .

Двойственное понятие к подобъекту — факторобъект; то есть, чтобы получить определение факторобъекта, нужно заменить в определении выше «мономорфизм» на «эпиморфизм» и поменять направление всех стрелок.

Примеры

В категории множеств подобъекты A соответствуют подмножествам A , или, точнее, классу всех вложений множеств, равномощных данному, в данное подмножество. То же верно в категории групп и в некоторых других категориях.

Примечания

Литература

• (англ.) ( . Categories for the Working Mathematician (неопр.) . — 2nd. — New York, NY: Springer-Verlag , 1998. — Т. 5. — ( ). — ISBN 0-387-98403-8 .