Разложение на ручки m - многообразия M — это фильтрация

${\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}$

где каждое ${\displaystyle M_{i}}$ получается из ${\displaystyle M_{i-1}}$ путём присоединения ${\displaystyle i}$ - ручек . Разложение на ручки для многообразия соответствует CW-разбиению в топологическом пространстве — разложение на ручки позволяет нам использовать методы исследования CW-комплексов, адаптированные к миру гладких многообразий . Таким образом, i -ручка является гладким аналогом i -ячейки. Разложения многообразий на ручки возникают из теории Морса . Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа .

Предпосылки

Рассмотрим стандартное CW-разбиение n -сферы с одной нулевой ячейкой и одной n -ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру ${\displaystyle S^{n}}$ с помощью этого разбиения, в частности, гладкая структура вблизи 0 -ячейки зависит от поведения характеристического отображения ${\displaystyle \chi :D^{n}\to S^{n}}$ в окрестности ${\displaystyle S^{n-1}}$ .

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности . Если задана точка p на многообразии M , её замкнутая трубчатая окрестность ${\displaystyle N_{p}}$ диффеоморфна ${\displaystyle D^{m}}$ . Таким образом, мы получаем разбиение M на несвязное объединение ${\displaystyle N_{p}}$ и ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ , склеенное по их общей границе. Главный вопрос здесь, является ли это склеивающее отображение диффеоморфизмом. Возьмём гладкую кривую вложенную в ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ , её трубчатая окрестность диффеоморфна ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ . Это позволяет записать ${\displaystyle M}$ как объединение трёх многообразий, склеенных вдоль частей их границ:

1. ${\displaystyle D^{m}}$
2. ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$
3. дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ .

Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ с ${\displaystyle D^{m}}$ , отношение эквивалентности образуется путём вложения ${\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1}}$ в ${\displaystyle \partial D^{m}}$ , которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности .

Разложения на ручки ввёл Стивен Смейл . В оригинальной формулировке процесс присоединения j -ручки к m -многообразию M предполагает, что осуществляется вложение ${\displaystyle f:S^{j-1}\times D^{m-j}}$ в ${\displaystyle \partial M}$ . Пусть ${\displaystyle H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}}$ . Многообразие ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ (другими словами, объединение M с j -ручкой вдоль f ) соответствует несвязному объединению ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle H^{j}}$ с отождествлением ${\displaystyle S^{j-1}\times D^{m-j}}$ с его образом в ${\displaystyle \partial M}$ , то есть:

${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$

где отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ задаётся как ${\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)}$ для всех ${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}}$ .

Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j -ручек, если объединение M с конечным числом j -ручек диффеоморфно N . Тогда разложение на ручки многообразия ${\displaystyle M}$ определяется как постепенное присоединение к пустому множеству ручек, так чтобы в конечном счёте получилось ${\displaystyle M}$ . Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0 -ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j -ручки для некоторого фиксированного j ) называется телом с ручками .

Терминология

Возьмём объединение M с j -ручкой ${\displaystyle H^{j}}$ :

${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$

${\displaystyle f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M}$ называется приклеивающей сферой (или подошвенной сферой ) .

${\displaystyle f}$ иногда называется оснащением приклеивающей сферы, поскольку оно даёт тривиализацию его нормального расслоения .

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}}$ является опоясывающей сферой ручки ${\displaystyle H^{j}}$ в ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ .

Многообразие, полученное присоединением ${\displaystyle g}$ копий ${\displaystyle k}$ -ручек к диску ${\displaystyle D^{m}}$ , является (m, k) -телом с ручками рода g .

Представления кобордизмов

Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$ и фильтрации

${\displaystyle W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W}$

где ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle M_{1}}$ являются ${\displaystyle m}$ -мерными многообразиями, ${\displaystyle W}$ — ${\displaystyle m+1}$ -мерным, ${\displaystyle W_{-1}}$ диффеоморфно ${\displaystyle M_{0}\times [0,1]}$ , а ${\displaystyle W_{i}}$ получается из ${\displaystyle W_{i-1}}$ путём присоединения i -ручек. Поскольку разложения на ручки являются для многообразий аналогом разложений на ячейки топологических пространств, представления кобордизмов ручками для многообразий с границами являются аналогом относительных разложений ячеек пар пространств.

С точки зрения теории Морса

Если задана функция Морса ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ на компактном многообразии M без края, таком что критические точки ${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M}$ функции ${\displaystyle f}$ удовлетворяют ${\displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})}$ и выполняется

${\displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}}$ ,

тогда для всех j ${\displaystyle f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]}$ диффеоморфно ${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}}$ , где ${\displaystyle I(j)}$ — индекс критической точки ${\displaystyle p_{j}}$ . Индекс ${\displaystyle I(j)}$ соответствует размерности максимального подпространства касательного пространства ${\displaystyle T_{p_{j}}M}$ , где гессиан отрицательно определён.

Если индексы удовлетворяют неравенству ${\displaystyle I(1)\leqslant I(2)\leqslant \cdots \leqslant I(k)}$ , то получается разложение на ручки многообразия M . Более того, любое многообразие имеет такую функцию Морса, так что они имеют разложения на ручки. Похожим образом, если задан кобордизм ${\displaystyle W}$ с ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$ и функция ${\displaystyle f:W\to \mathbb {R} }$ , которая является функцией Морса на внутренности, постоянна на границе и удовлетворяет свойству увеличения индекса, существует порождённое представление ручек кобордизма W .

Если ${\displaystyle f}$ — функция Морса ${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle -f}$ также является функцией Морса. Соответствующее разложение на ручки/представление кобордизма называется двойственным разложением .

Некоторые главные теоремы и наблюдения

• Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3 -многообразия на объединение двух (3,1) -тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3 -многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0 - и 1 -ручек является (3,1) -телом с ручками и объединение 3 - и 2 -ручек также даёт (3,1) -тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3 -многообразие имеет триангуляцию T , существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1) -тело с ручками — это регулярная окрестность 1 -остова ${\displaystyle T^{1}}$ , а другое (3,1) -тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1 -остова .
• Если присоединить две ручки в последовательности ${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}}$ , можно изменить порядок присоединения, обеспечивая ${\displaystyle j\leqslant i}$ , то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида ${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i}}$ для подходящих отображений присоединения.
• Граница ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ диффеоморфна ${\displaystyle \partial M}$ , разрезанному вдоль оснащённой сферы ${\displaystyle f}$ . Это основная связь между хирургией , ручками и функциями Морса.
• Как следствие, m -многообразие M является границей m+1 -многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из ${\displaystyle S^{m}}$ хирургией на наборе оснащённых зацеплений в ${\displaystyle S^{m}}$ . Например, известно, что любое 3 -многообразие является границой 4 -многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3 -многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4 -многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах . Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3 -сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей.
• Теорема о h -кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.

См. также

• Теория [ко]бордизмов
• CW-комплекс
• Тело с ручками

Примечания

Литература

• Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. — 1962. — Т. 84 .
  • Статья перепечатана в книге: S. Smale. On the structure of manifolds // Topological library. Part 1: Cobordisms and their applications / Editor-in-charge: Louis H. Kauffman; Editors: S. P. Novikov, I. A. Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. — Т. 39. — (SERIES ON KNOTS AND EVERYTHING). — ISBN 978-981-270-559-4 .
• Скорпан А. Удивительный мир четырёхмерных многообразий. — М. : МЦНМО, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7 .

Основная литература

• Kosinksi A. Differential Manifolds. — Academic Press, 1992. — Т. 138. — (Pure and Applied Mathematics).
• Robert Gompf, Andras Stipsicz. 4-Manifolds and Kirby Calculus. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — ( ). — ISBN 0-8218-0994-6 .