Существуют подмножества векторного пространства, замкнутые относительно выпуклой комбинации, но не замкнутые относительно линейной. Например, интервал
является выпуклым, но линейные комбинации точек этого интервала дают всю прямую. Другой пример — выпуклое множество
распределений вероятностей
.
Содержание
Другие объекты
Подобно выпуклой комбинации векторов, выпуклая комбинация
распределений вероятностей
— это взвешенная сумма (где
удовлетворяют тем же ограничениям, что и выше) распределений вероятностей с
плотностью вероятности
Средние арифметические взвешенные
— это, функционально, то же самое, что и выпуклая комбинация, но используются другие обозначения. Для коэффициентов (
весов
) во взвешенном среднем не требуется равенство единице суммы весов. Вместо этого линейную комбинацию делят на сумму весов.
Аффинные комбинации
подобны выпуклым комбинациям, но не требуется неотрицательность коэффициентов. Ввиду этого аффинные комбинации определены на векторном пространстве над любым
полем
.
Неравенства
Выпуклые комбинации вещественных чисел подчиняются простым, но часто используемым неравенствам
.
Если задан набор вещественных чисел
, то для любой их выпуклой комбинации с коэффициентами
имеют место оценки:
.
Различные классические неравенства можно вывести, рассматривая простые выпуклые функции
, например:
,
где
.
Применение последнего неравенства к строго выпуклой функции
приводит к неравенству между арифметическим и геометрическим средними с весами:
.
Когда все
равны 1/n, приходим к неравенству между арифметическим и геометрическим средними:
Е. Е. Тыртышников.
13.5 Выпуклые множества
// Матричный анализ и линейная алгебра: Учебное пособие. — Москва: Московский Университет (eBook), 2005. — С. 90.