Важным принципиальным вопросом теории дискретизации является вопрос об объёме дискретного описания сигналов, то есть о количестве ${\displaystyle N}$ базисных функций, используемых для представления:

${\displaystyle a(t)=\sum _{k=0}^{N-1}\alpha _{k}\varphi _{k}(t)}$ .

Чтобы найти оптимальный базис, нужно определить класс сигналов, для которого он отыскивается, а также задать точность восстановления для этого класса. При статистическом подходе к описанию сигналов оптимальным ${\displaystyle N}$ — мерным базисом для представления отдельных реализаций сигналов обычно считается базис, при котором норма ошибки, усредненная по ансамблю реализаций, минимальна. В этом случае необходимые и достаточные условия минимума нормы ошибки представления сигнала в виде суммы базисных функций определяет теорема Карунена-Лоэва.

Популярная формулировка

Минимальное значение нормы ошибки представления сигналов на интервале протяженностью ${\displaystyle T}$ достигается при использовании в качестве базиса собственных функций оператора, ядром которого является корреляционная функция сигналов ${\displaystyle R_{a}(t,\tau )}$ :

${\displaystyle \int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}R_{a}(t,\tau )\varphi _{k}(\tau )d\tau =\lambda _{k}\varphi _{k}(t)}$ ,

соответствующих ${\displaystyle N}$ наибольшим собственным значениям. При этом норма ошибки равна:

${\displaystyle \|\epsilon \|_{min}^{2}=\|a(t)-\sum _{k=0}^{N-1}\alpha _{k}\varphi _{k}(t)\|_{min}^{2}=\sum _{k=N}^{\infty }\lambda _{k}}$ .

Такое разложение является разложением Карунена-Лоэва .

Применение

В теории случайных процессов теорема Карунена-Лоэва (названа в честь и Мишеля Лоэва ) — представление случайного процесса в виде бесконечной линейной комбинации ортогональных функций , аналогичное представлению рядов Фурье — последовательному представлению функций на ограниченном интервале. В отличие от рядов Фурье, где коэффициенты являются действительными числами и базис представления состоит из синусоидальных функций (то есть, из функций синус и косинус с разными частотами), коэффициенты в теореме Карунена-Лоэва — случайные переменные, и базис представления зависит от процесса. Ортогональные базисные функции , использованные в этом представлении, определяет процесса. Если мы рассматриваем стохастический процесс как случайную функцию F , то есть процесс, в котором функция на интервале [ a , b ] принимает значение F , то эта теорема может рассматриваться как случайное ортонормальное разложение F .

Центрированный случайный процесс { X _t } _{t ∈ [ a , b ]} (где центрирование означает, что математические ожидания E( X _t ) существуют и равны нулю для всех значений параметра t из [ a , b ]), удовлетворяющий техническому условию непрерывности, допускает разложение следующего вида:

${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=\sum _{k=1}^{\infty }\mathbf {Z} _{k}e_{k}(t).}$

где Z _k — случайные величины и функции e _k — непрерывные вещественные функции на [ a , b ], ортогональные в L ² [ a , b ]. В случае нецентрированного процесса имеет место аналогичное разложение, получаемое разложением функции математического ожидания в базисе e _k .

Если процесс ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$ гауссовский , то случайные величины Z _k — тоже гауссовские и являются независимыми . Этот результат обобщает преобразования Карунена-Лоэва . Важным примером центрированного случайного процесса на интервале [0,1] является винеровский процесс , и теорема Карунена-Лоэва может быть использована для получения канонического ортогонального представления. В этом случае разложение состоит из синусоидальных функций.

Приведенные выше разложения в также известны как разложения или декомпозиция Карунена-Лоэва (эмпирическая версия, то есть, с коэффициентами из исходных числовых данных), как анализ главных компонент , собственное ортогональное разложение или преобразование Хотеллинга .

Формулировка

Сформулируем результат в терминах комплекснозначных стохастических процессов. Результаты могут быть применены к вещественнозначным процессам без модификаций, вспоминая, что число, комплексно-сопряженное с действительным числом, совпадает с ним самим.

Для случайных элементов X и Y скалярное произведение определяется формулой

${\displaystyle \langle \mathbf {X} |\mathbf {Y} \rangle =\operatorname {E} (\mathbf {X^{*}} \mathbf {Y} )}$

где * обозначает операцию комплексного сопряжения .

Статистики второго порядка

Скалярное произведение корректно определено, если как ${\displaystyle X}$ , так и ${\displaystyle Y}$ имеют конечные вторые моменты, или, что то же самое, если они оба . Отметим, что скалярное произведение связано с ковариацией и корреляцией . В частности, для случайных переменных со средним нулевым значением, ковариация и скалярное произведение совпадают. Функция автоковариации ${\displaystyle K_{\mathrm {XX} }}$

${\displaystyle K_{\mathrm {XX} }(t,s)=\operatorname {Cov} [X(t),X(s)]=\langle \mathbf {X} _{t}|\mathbf {X} _{s}\rangle }$

${\displaystyle =\mathrm {E} \{[X(t)-\mu _{X}(t)]^{*}[X(s)-\mu _{X}(s)]\}}$

${\displaystyle =\mathrm {E} \{X^{*}(t)X(s)\}-\mu _{X}^{*}(t)\mu _{X}(s)}$

${\displaystyle =R_{\mathrm {XX} }(t,s)-\mu _{X}^{*}(t)\mu _{X}(s).}$

Если процесс { X _t } _t центрированный, то

${\displaystyle \mu _{X}(t)=0}$

для всех t . Таким образом, автоковариация K _XX равна автокорреляции R _XX :

${\displaystyle K_{\mathrm {XX} }(t,s)=R_{\mathrm {XX} }(t,s).}$

Отметим, что если { X _t } _t центрированный и t ₁ , ≤ t ₂ , …, ≤ t _N являются точками на интервале [ a , b ], следовательно

${\displaystyle \sum _{k,\ell }\operatorname {Cov} _{\mathbf {X} }(t_{k},t_{\ell })=\operatorname {Var} \left(\sum _{k=1}^{N}\mathbf {X} _{k}\right)\geq 0.}$

Формулировка теоремы

Теорема . Рассмотрим центрированный случайный процесс ${\displaystyle \{\mathbf {X} _{t}\}}$ , индексированный ${\displaystyle t}$ на интервале ${\displaystyle [a,b]}$ с ковариационной функцией ${\displaystyle \mathrm {Cov} _{\mathbf {X} }}$ . Предположим, что ковариационная функция ${\displaystyle \mathrm {Cov} _{\mathbf {X} }(t,s)}$ непрерывна по совокупности переменных ${\displaystyle t,s}$ . Тогда ${\displaystyle \mathrm {Cov} _{\mathbf {X} }}$ — положительно определенное ядро, и по интегральный оператор ${\displaystyle T}$ в ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ (близкой к мере Лебега на ${\displaystyle [a,b]}$ ) имеет ортонормированный базис из собственных векторов. Пусть ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ являются собственными векторами ${\displaystyle T}$ , соответствующими ненулевым собственным значениям и

${\displaystyle \mathbf {Z} _{i}=\int _{a}^{b}\mathbf {X} _{t}e_{i}(t)dt.}$

Тогда ${\displaystyle Z_{i}}$ — центрированные ортогональные случайные величины и

${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=\sum _{i=1}^{\infty }e_{i}(t)\mathbf {Z} _{i}}$

ряд сходится в среднем квадратичном, а также равномерно по ${\displaystyle t}$ . Кроме того

${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {Z} _{i})=\operatorname {E} (\mathbf {Z} _{i}^{2})=\lambda _{i}.}$

где ${\displaystyle \lambda _{i}}$ собственное значение, соответствующее собственному вектору ${\displaystyle e_{i}}$ .

Суммы Коши

В формулировке теоремы интеграл в определении ${\displaystyle Z_{i}}$ можно понимать как сумм Коши случайных величин

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\ell -1}\mathbf {X} _{\xi _{k}}e_{i}(\xi _{k})(t_{k+1}-t_{k}),}$

где

${\displaystyle a=t_{0}\leq \xi _{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq \xi _{\ell -1}\leq t_{n}=b}$

Особый случай: гауссовское распределение

Так как предел в среднем квадратичном из совместно гауссовских случайных величин является гауссовским и совместно гауссовские случайные (центрированные) величины независимы тогда и только тогда, когда они являются ортогональными, мы можем также заключить:

Теорема . Случайные величины ${\displaystyle Z_{i}}$ имеют гауссовское распределение и являются независимыми, если первоначальный процесс { X _t } _t тоже является гауссовским.

В гауссовском случае, поскольку случайные величины ${\displaystyle Z_{i}}$ являются независимыми, мы можем быть уверены в том, что:

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{N}e_{i}(t)\mathbf {Z} _{i}(\omega )=\mathbf {X} _{t}(\omega )}$

почти наверное.

Отметим, что обобщая теорему Мерсера, мы можем заменить интервал ${\displaystyle [a,b]}$ другими компактными пространствами ${\displaystyle C}$ , а меру Лебега на ${\displaystyle [a,b]}$ — борелевской мерой с носителем в ${\displaystyle C}$ .

Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем. Здесь мы определяем его как центрированный гауссовский процесс B ( t ) с ковариационной функцией

${\displaystyle \mathrm {K} _{\mathrm {BB} }(t,s)=\operatorname {Cov} (B(t),B(s))=\min(s,t).}$

Легко видеть, что собственные векторы ковариации равны

${\displaystyle e_{k}(t)={\sqrt {2}}\sin \left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi t}$

а соответствующие собственные значения

${\displaystyle \lambda _{k}={\frac {4}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}.}$

Это позволяет получить нам следующее представление винеровского процесса:

Теорема . Существует последовательность { W _i } _i независимых гауссовких случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией такая, что

${\displaystyle \mathbf {B} _{t}={\sqrt {2}}\sum _{k=1}^{\infty }\mathbf {W} _{k}{\frac {\sin \left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi t}{\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}.}$

Сходимость является равномерной по t в норме L² так, что

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\mathbf {B} _{t}-{\sqrt {2}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {W} _{k}{\frac {\sin \left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi t}{\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}\right)^{2}\rightarrow 0}$

равномерно по t .

Использование

Было высказано мнение, что в проекте SETI следует использовать преобразования Карунена-Лоэва для обнаружения сигналов с очень широким спектром. Аналогично, в системах адаптивной оптики иногда используют функции Карунена-Лоэва для восстановления информации о фазе фронта волны. (Dai 1996, JOSA A).

См. также

• Метод главных компонент
• Нейронная сеть Кохонена

Ссылки

• И. И. Гихман, А. В. Скороход, (недоступная ссылка) .- М.: Наука, 1965.
• B. Simon, Functional Integration and Quantum Physics , Academic Press, 1979
• K. Karhunen, Kari, Uber lineare Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung , Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. I. Math.-Phys., 1947, No. 37, 1-79
• М. Лоев, , — М.: ИЛ, 1962.
• G. Dai, Modal wave-front reconstruction with Zernike polynomials and Karhunen-Loeve functions , JOSA A, 13, 6, 1996

Примечания

Литература

• Ярославский Л. П. Введение в цифровую обработку изображений. — М. : Советское радио, 1979. — 312 с.
• Френкс Л. Теория сигналов. — М. : Советское радио, 1974. — 399 с.