Формула Якоби — формула, связывающая определитель матрицы, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, в начале интервала интегрирования с определителем матрицы в конце интервала интегрирования.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X(t)}$ — решение уравнения ${\displaystyle {\dot {X}}=A(t)X}$ , где ${\displaystyle X,A}$ — матрицы. Тогда:

${\displaystyle \det X=\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)\det X(0)}$

Доказательство

Можно доказать, что ${\displaystyle {\dot {(\det X)}}=(\det X)(tr{\dot {X}}X^{-1})}$ . В доказуемой формуле ${\displaystyle {\dot {X}}X^{-1}=A(t)}$ . Таким образом, функция ${\displaystyle y(t)=\det X(t)}$ удовлетворяет условию ${\displaystyle {\dot {(\ln y)}}={\frac {\dot {y}}{y}}=trA(t)}$ . Поэтому ${\displaystyle y(t)=c\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)}$ , где ${\displaystyle c=y(0)=\det X(0)}$ .

Примечания

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М. : Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3 .