Род поверхности — топологическая характеристика замкнутой поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ . Определяется как максимальное число замкнутых непересекающихся кривых не разделяющих поверхность на части.

Примеры

• Сфера имеет род 0.
• Тор имеет род 1.
• Проективная плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$ имеет род 1.

Свойства

Ориентируемые поверхности

• Для ориентируемых поверхностей род равен числу ручек .

Эквивалентно, ${\displaystyle \Sigma }$ имеет род ${\displaystyle g}$ , если ${\displaystyle \Sigma }$ гомеоморфна связной сумме сферы ( ${\displaystyle S^{2}}$ ) и ${\displaystyle g}$ торов ${\displaystyle T^{2}}$ :

${\displaystyle \Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {T^{2}\#\ldots \#T^{2}} _{g})}$ .

• Род ${\displaystyle g}$ ориентированной поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ может быть вычислен через её эйлерову характеристику ${\displaystyle \chi (\Sigma )}$ :

  ${\displaystyle g={\frac {2-\chi (\Sigma )}{2}}}$ .

• Род поверхности ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}}$ , являющейся замыканием множества нулей ${\displaystyle \{P(x,\;y)=0\}}$ многочлена ${\displaystyle P(x,\;y)}$ степени ${\displaystyle d}$ общего положения, выражается через его степень как:

  ${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}.}$

• Род гиперэллиптической поверхности ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}}$ , являющейся замыканием множества:

  ${\displaystyle \{(x,\;y)\mid y^{2}=P(x)\}}$ .

Для свободного от квадратов многочлена ${\displaystyle P(x)}$ степени ${\displaystyle d}$ , выражается через его степень как:

${\displaystyle g=\left\lceil {\frac {d-1}{2}}\right\rceil }$ .

Неориентируемые поверхности

• Для неориентируемых поверхностей род равен числу вклеенных в неё лент Мёбиуса

Эквивалентно, ${\displaystyle \Sigma }$ имеет род ${\displaystyle g}$ , если ${\displaystyle \Sigma }$ гомеоморфна связной сумме сферы ( ${\displaystyle S^{2}}$ ) и ${\displaystyle g}$ проективных плоскостей ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$ :

${\displaystyle \Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\#\dots \#\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} _{g})}$ .

• Род ${\displaystyle g}$ неориентируемой поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ может быть вычислен через её эйлерову характеристику ${\displaystyle \chi (\Sigma )}$ :

  ${\displaystyle g=2-\chi (\Sigma )}$ .

См. также

• Род многообразия