Все числа в данной статье подразумеваются целыми , если не оговорено иное.

Лемма Евклида — классический результат элементарной теории чисел . Она сформулирована как предложение 30 в книге VII «Начал» Евклида и является ключевой для доказательства основной теоремы арифметики . Современная формулировка :

Если произведение нескольких сомножителей делится на простое число ${\displaystyle p}$ , то по крайней мере один из сомножителей делится на ${\displaystyle p}$ .

Пример. 19 — простое число, и оно делит ${\displaystyle 19019=133\cdot 143.}$ Следовательно, один из сомножителей делится на 19, а именно: ${\displaystyle 133=19\cdot 7.}$

Если ${\displaystyle p}$ — не простое число, то теорема может не выполняться. Пример: ${\displaystyle 4\cdot 15=60}$ делится на 20, однако ни один из сомножителей на 20 не делится.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle x\cdot y}$ делится на ${\displaystyle p}$ , но ${\displaystyle x}$ не делится на ${\displaystyle p}$ . Тогда ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle p}$ — взаимно простые , следовательно, найдутся целые числа ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ такие, что

${\displaystyle x\cdot u+p\cdot v=1}$ ( соотношение Безу ).

Умножая обе части на ${\displaystyle y}$ , получаем

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.}$

Оба слагаемых в левой части делятся на ${\displaystyle p}$ , значит, и правая часть делится на ${\displaystyle p}$ , ч. т. д.

Обобщения

Если произведение ${\displaystyle bc}$ делится на ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a,b}$ взаимно просты , то ${\displaystyle c}$ делится на ${\displaystyle a.}$

Лемма Евклида имеет место не только в кольце целых чисел, но и в других факториальных кольцах , где роль простых чисел играют неприводимые элементы . В частности, она справедлива в евклидовых кольцах , например:

• Кольцо целых гауссовых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$
• Кольцо многочленов от одной переменной ${\displaystyle K[x]}$ над полем ${\displaystyle K.}$

Примечания

Литература

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М. — Л. : ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
• Жиков В.В. // Соросовский Образовательный Журнал . — 2000. — Т. 6 , № 3 . — С. 112—117 .

Ссылки

`* Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .