Interested Article - Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия , первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа , содержит бесконечное число простых чисел.

Дирихле доказал, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k справедливо следующее:

Пусть $l,k>0$ — целые числа, и $(l,k)=1$ .

Тогда существует бесконечно много простых чисел $p$ таких, что $p\equiv l{\pmod {k}}$ .

История доказательств

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательства теоремы элементарными методами . Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

При рассмотрении простых $p\equiv l{\pmod {k}}$ довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы, Дирихле доказал в 1839 году , что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах $l$ и $k$ :

\lim _{s\to 1+}{\frac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}={\frac {1}{\varphi (k)}},

где суммирование ведётся по всем простым числам $p$ с условием $p\equiv l{\pmod {k}}$ , а $\varphi$ — функция Эйлера .

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов $\mod k$ , поскольку

\lim _{s\to 1+}{\dfrac {\sum \limits _{p}{\dfrac {1}{p^{s}}}}{\ln {\dfrac {1}{s-1}}}}=1,

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимно простых чисел $l$ и $k$ ряд $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$ , где суммирование ведётся по простым $p\equiv l{\pmod {k}}$ , расходится.