Способ 1, метод приведения:

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до ${\displaystyle n+1}$ :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+\sum _{k=0}^{n}3k^{2}+\sum _{k=0}^{n}3k+\sum _{k=0}^{n}1=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1}$

Получим:

${\displaystyle (n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)}$

Умножим на 2 и перегруппируем:

${\displaystyle 6\sum _{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$ (В рассуждениях использована формула: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}}$ , вывод которой аналогичен приведенному)

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени ${\displaystyle N}$ может быть выражена как функция ${\displaystyle N+1}$ степени. Исходя из этого факта предположим:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D}$

${\displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14}$

Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:

${\displaystyle {\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\\end{cases}}}$

Решив её, получим ${\displaystyle A={\frac {1}{3}},B={\frac {1}{2}},C={\frac {1}{6}},D=0}$

Таким образом:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$