p -группа — группа , в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p .

Примеры

• Циклическая группа порядка ${\displaystyle p^{n}}$ и прямые произведения таких групп.
  • Каждая коммутативная p -группа изоморфна одному из этих примеров.
• Группа Гейзенберга по модулю ${\displaystyle p}$ — простейший пример некоммутативной p -группы.
• Группа Григорчука — пример бесконечной 2-группы.
• Силовские p-группы (см. Теоремы Силова )

Свойства

• Центр ${\displaystyle Z(P)}$ нетривиальной конечной p -группы ${\displaystyle P}$ является нетривиальной группой.
  • В частности, все p-группы нильпотентны .
  • Более того, если ${\displaystyle H}$ нормальная подгруппа в p -группе ${\displaystyle P}$ , то ${\displaystyle |H\cap Z(P)|>1}$ .
    • Данное свойство получается из теоремы о центре, если учесть, что любая подгруппа p -группы сама является p -группой и что нормальная подгруппа инвариантна к сопряжениям.
• Если группа конечна, то ее порядок тогда тоже равен некоторой степени числа p (это следует из первой теоремы Силова ).
  • Более того любая группа порядка ${\displaystyle p^{n}}$ является p -группой (следует из теоремы Лежандра ).
• При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{n}}$ асимптотически равно

  ${\displaystyle p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}}$ .

См. также

• Задача Бёрнсайда

Литература

• Курош А. Г. . — 3-е изд. — М.: Наука , 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9 . (рус.)
• Холл М. Теория групп. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups — N. Y.: Harper and Row, 1968.