Теория чисел — это раздел математики , занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

Гипотезы о простых числах

• Сильная проблема Гольдбаха . Каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
• Проблема Ризеля : поиск такого минимального нечётного ${\displaystyle k<509203}$ , что число ${\displaystyle k\cdot 2^{n}-1}$ является составным для всех натуральных ${\displaystyle n}$ .
• Проблема Серпинского : поиск такого минимального нечётного натурального ${\displaystyle k<78557}$ , что число ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ является составным для всех натуральных ${\displaystyle n}$ .
  • : поиск такого минимального нечётного простого натурального ${\displaystyle k<271129}$ , что число ${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ является составным для всех натуральных ${\displaystyle n}$ .
  • : поиск такого минимального нечётного натурального ${\displaystyle k}$ , что число ${\displaystyle 2^{n}\pm k}$ является составным для всех натуральных ${\displaystyle n}$ . Связанный вопрос о тесте на простоту: если существует алгоритм, позволяющий быстро (за полиномиальное время) узнать, является ли число ${\displaystyle k\cdot 2^{n}\pm 1}$ простым (строго, то есть не псевдопростым), то существует ли двойственный к нему алгоритм теста на простоту для чисел вида ${\displaystyle 2^{n}\pm k}$ ? Ответ на последний вопрос позволил бы узнать, являются ли пять больших возможно простых из задания «Пять или провал» простыми или составными.
• Гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем .
• Гипотеза Лежандра . Для любого натурального ${\displaystyle n}$ между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ найдётся хотя бы одно простое число.
• Гипотеза Оппермана . Для любого натурального ${\displaystyle n}$ между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle n(n+1)}$ найдётся хотя бы одно простое число и между ${\displaystyle n(n+1)}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ — ещё хотя бы одно (другое) простое число.
• Гипотеза Андрицы . Функция ${\displaystyle f(n)={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$ (где ${\displaystyle p_{n}}$ — это ${\displaystyle n}$ -ое простое число) принимает значения, меньшие 1 для любого n.
• Гипотеза Брокара . Для любого натурального ${\displaystyle n}$ между ${\displaystyle p_{n}^{2}}$ и ${\displaystyle p_{n+1}^{2}}$ (где ${\displaystyle p_{n}}$ — это ${\displaystyle n}$ -ое простое число) найдётся хотя бы четыре простых числа.
• Гипотеза Фирузбэхт . Последовательность ${\displaystyle (p_{n})^{1/n}}$ — строго убывающая (здесь ${\displaystyle p_{n}}$ — это ${\displaystyle n}$ -ое простое число).
• Гипотеза Полиньяка . Для любого чётного числа ${\displaystyle n}$ найдётся бесконечно много пар соседних простых чисел, разность между которыми равна ${\displaystyle n}$ .
• Гипотеза Аго — Джуги : верно ли, что если

  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}}$ , то p — простое?

• Верно ли, что для любого положительного иррационального числа ${\displaystyle \theta }$ и любого положительного ${\displaystyle \epsilon }$ существует бесконечное количество пар простых чисел ${\displaystyle (p,q),}$ для которых выполняется неравенство ${\displaystyle \left|\theta -{\frac {p}{q}}\right|<q^{-2+\epsilon }}$ ?
• Сходится ли ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k}{p_{k}}}}$ ? Но если он сходится, то простых чисел-близнецов конечно много. Это вытекает из теоремы о распределении простых чисел и признака Лейбница ^{[ источник не указан 1835 дней ]} .
• Гипотеза Гильбрайта . Для любого натурального числа ${\displaystyle n}$ последовательность абсолютных разностей ${\displaystyle n}$ -го порядка для последовательности простых чисел начинается с 1. Абсолютные разности 1-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними простыми числами: ${\displaystyle 1,2,2,4,2,\dots ,}$ разности 2-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними элементами в последовательности абсолютных разностей 1-го порядка: ${\displaystyle 1,0,2,2,2,\dots }$ и т. д. Гипотеза проверена для всех n < 3,4×10 ¹¹
• Гипотеза Буняковского Если ${\displaystyle f(x)}$ — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений, то целозначный многочлен ${\displaystyle f(x)/d}$ принимает бесконечно много простых значений. 4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ .
• Гипотеза Диксона Если ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r}}$ — конечное число арифметических прогрессий, то существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что для каждого такого n все r чисел ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r}}$ являются простыми одновременно. Причём из рассмотрения исключается тривиальный случай, когда существует такое простое p , что при любом n хотя бы одно число ${\displaystyle a_{j}n+b_{j}}$ кратно p .
• Гипотеза Эллиота — Халберстама и её обобщение в теории простых чисел в модулях.
• Все ли числа Ферма составные при n > 4?
• Все ли числа Мерсенна с простыми индексами свободны от квадратов ?
• Имеются ли двойные числа Мерсенна с индексами n > 60?
• Является ли число M _{M 127} и следующие члены последовательности Каталана-Мерсенна простыми?
• Имеются ли простые числа Вольстенхольма , отличные от 16 843 и 2 124 679 ?
• Открытым является вопрос бесконечности количества простых чисел в каждой из следующих последовательностей :

Последовательность	Название
${\displaystyle 2^{n}-1}$	числа Мерсенна
${\displaystyle n^{2}+1}$	4-я проблема Ландау
${\displaystyle n^{2^{k}}+1}$ , ${\displaystyle k>0}$	обобщение проблемы Ландау .
${\displaystyle n\cdot 2^{n}+1}$	числа Каллена
${\displaystyle n\cdot 2^{n}-1}$	числа Вудала
${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$	числа Ферма
${\displaystyle F_{n}}$	числа Фибоначчи
пары ${\displaystyle (n,\;n+2)}$	простые близнецы
пары ${\displaystyle (n,\;2n+1)}$	простые числа Софи Жермен
${\displaystyle n!\pm 1}$	факториальные числа
${\displaystyle n\#\pm 1}$	праймориальные числа
${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$ , ${\displaystyle k}$ — нечетно, ${\displaystyle 2^{n}>k}$	числа Прота

• Существует ли многочлен ${\displaystyle f(x)}$ , кроме линейного, среди значений которого существует бесконечно много простых чисел?
• Почему простые числа располагаются в цепочки вдоль диагоналей скатерти Улама ?
• Верно ли, что только три простых числа, а именно 5, 13 и 97, представимы в виде ${\displaystyle 2^{k}+3^{k}}$ при некотором натуральном ${\displaystyle k}$ ?

Гипотезы о совершенных числах

• Не существует нечётных совершенных чисел .
• Количество совершенных чисел бесконечно.

Гипотезы о дружественных числах

• Не существует взаимно простых дружественных чисел .
• Любая пара дружественных чисел имеет одинаковую чётность.
• Дружественных чисел бесконечно много.

Гауссовы числа

• Найти количество гауссовых чисел, норма которых меньше заданной натуральной константы ${\displaystyle R}$ . В эквивалентной формулировке эта тема известна как « проблема круга Гаусса » в геометрии чисел . См. последовательность в OEIS .
• Найти прямые на комплексной плоскости, содержащие бесконечно много простых гауссовых чисел. Две такие прямые очевидны — это координатные оси; неизвестно, существуют ли другие .
• Вопрос, известный под названием « ров Гаусса »: можно ли дойти до бесконечности, переходя от одного простого гауссова числа к другому скачками заранее ограниченной длины? Задача поставлена в 1962 году и до сих пор не решена .

Диофантовы уравнения

• Каждое ли перечислимое множество имеет ?
• Может ли не иметь однократного диофантова представления объединение двух множеств, каждое из которых имеет однократное диофантово представление?
• Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно всех переменных (параметров и неизвестных)?
• Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно неизвестных?
• Какое наименьшее число переменных может иметь ? Какую наименьшую степень оно может иметь при таком числе переменных? Наименьший известный результат — 9 переменных. Наименьшая известная степень уравнения при 9 переменных превышает ${\displaystyle 10^{45}.}$
• Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение степени 4? Наименьший известный результат составляет 58.
• Существует ли универсальное диофантово уравнение степени 3? Если да, то какое наименьшее число переменных оно может иметь?
• Какое наименьшее количество операций (сложений, вычитаний и умножений) может иметь универсальное диофантово уравнение? Наименьший известный результат составляет 100.
• Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения ${\displaystyle 9(u^{2}+7v^{2})^{2}-7(r^{2}+7s^{2})^{2}=2}$ ?
• Существование прямоугольного параллелепипеда с тремя целочисленными рёбрами и целочисленными диагоналями .
• Существование множества из пяти положительных целых чисел , произведение любых двух из которых на единицу меньше точного квадрата.

Многие нерешённые проблемы (например, проблема Гольдбаха или гипотеза Римана ) могут быть переформулированы как вопросы о разрешимости диофантовых уравнений 4-й степени некоторого специального вида, однако такая переформулировка обычно не делает проблему проще ввиду отсутствия общего метода решения диофантовых уравнений .

Аналитическая теория чисел

• Гипотеза Римана (теоретико-числовая формулировка). Верна ли следующая асимптотическая формула для распределения простых чисел:

  ${\displaystyle \pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)?}$

• Известно, что количество точек с положительными целочисленными координатами в области, ограниченной гиперболой ${\displaystyle xy=N}$ и положительными полуосями, выражается асимптотической формулой

  ${\displaystyle \Phi (N)=\sum _{k=1}^{N}\tau (k)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O(N^{\theta }),}$

где ${\displaystyle \tau (k)}$ — количество делителей числа k , ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони , а ${\displaystyle \theta }$ может быть выбрано равным ${\displaystyle {\frac {131}{416}}.}$ Однако, неизвестно, при каком наименьшем значении ${\displaystyle \theta }$ эта формула останется верной (известно, что оно не меньше, чем ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ) . Равно ли оно в точности ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ? Прямые вычисления ${\displaystyle \theta }$ приводят к этой гипотезе, поскольку ${\displaystyle x^{\theta }/x^{1/4}}$ оказывается почти нормальным распределением с дисперсией 1 для x вплоть до ${\displaystyle 10^{16}}$ .

• Гипотеза Крамера о пробелах между простыми числами : ${\displaystyle \max _{i\leq n}(p_{i+1}-p_{i})=O(\ln ^{2}p_{n})}$ .
• Ослабленная гипотеза Мертенса : доказать, что функция Мертенса ${\displaystyle M(n)}$ оценивается как ${\displaystyle M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })}$ . Ослабленная гипотеза Мертенса эквивалентна гипотезе Римана.
• — гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел вида ${\displaystyle (p,p+a_{2}...,p+a_{k})}$ , утверждающая, в частности, что число таких кортежей бесконечно, исключая тривиальные случаи. Эта гипотеза является уточнением гипотезы о простых близнецах, а также является частным случаем гипотезы Диксона.
• Вторая гипотеза Харди — Литлвуда — гипотеза о логарифмическом свойстве функции числа простых чисел : ${\displaystyle \pi (x+y)\leqslant \pi (x)+\pi (y)}$ . Доказано, что гипотезы Харди-Литлвуда обе сразу не могут быть верными и верна максимум одна .
• Гипотеза Сингмастера . Обозначим через ${\displaystyle N(a)}$ количество раз, которое натуральное число ${\displaystyle a}$ , большее единицы, встречается в треугольнике Паскаля . Сингмастер показал, что ${\displaystyle N(a)=O(\ln a)}$ , что в дальнейшем было улучшено до ${\displaystyle N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{-3}\ln a)}$ . Верно ли более сильное утверждение ${\displaystyle N(a)=O(1)}$ ?
• Гипотеза Зарембы . Для любого натурального числа q найдётся такое число p , что в разложении ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ в цепную дробь все неполные частные не превосходят пяти. В 2011 году Жаном Бургейном и Алексом Конторовичем было доказано, что для дробей с неполными частными, ограниченными 50, гипотеза верна на множестве плотностью 1 .

Теория Рамсея

• Значения чисел Рамсея ${\displaystyle R(r,\;s)}$ . Точно известны только несколько первых чисел. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, попарно знакомых друг с другом, или 5 человек, попарно незнакомых друг с другом — это число обозначается ${\displaystyle R(5,\;5)}$ , про него известно только, что ${\displaystyle 43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 48}$ .

${\displaystyle r,\;s}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	1	3	6	9	14	18	23	28	36	[40, 42]
4	1	4	9	18	25	[36, 41]	[49, 61]	[59, 84]	[73, 115]	[92, 149]
5	1	5	14	25	[43, 48]	[58, 87]	[80, 143]	[101, 216]	[133, 316]	[149, 442]
6	1	6	18	[36, 41]	[58, 87]	[102, 165]	[115, 298]	[134, 495]	[183, 780]	[204, 1171]
7	1	7	23	[49, 61]	[80, 143]	[115, 298]	[205, 540]	[217, 1031]	[252, 1713]	[292, 2826]
8	1	8	28	[56, 84]	[101, 216]	[127, 495]	[217, 1031]	[282, 1870]	[329, 3583]	[343, 6090]
9	1	9	36	[73, 115]	[133, 316]	[183, 780]	[252, 1713]	[329, 3583]	[565, 6588]	[580, 12677]
10	1	10	[40, 42]	[92, 149]	[149, 442]	[179, 1171]	[289, 2826]	[343, 6090]	[581, 12677]	[798, 23556]

• Значения чисел ван дер Вардена . На данный момент известны значения только 6 первых чисел : 1 , 3 , 9 , 35 , 178 и 1132. Например, неизвестно, при каком наименьшем N при любом разбиении множества ${\displaystyle \{1,2,\dots ,N\}}$ на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7 (известно, что ${\displaystyle 3704\leqslant N\leqslant {}^{8}2}$ , где выражение для верхней границы использует тетрацию ) .

Другие проблемы

• Пусть ${\displaystyle x}$ — положительное число такое, что ${\displaystyle 2^{x}}$ и ${\displaystyle 3^{x}}$ — целые числа. Может ли ${\displaystyle x}$ не быть целым числом?
• Существование слегка избыточных чисел .
• Существование цикла из трёх компанейских чисел .
• Существуют ли попарно различные натуральные числа ${\displaystyle a,\;b,\;c,\;d}$ такие, что ${\displaystyle a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}}$ ?
• Существуют ли две различные пифагоровы тройки , имеющие одинаковое произведение?
• Гипотеза Била . Если ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z},}$ где ${\displaystyle A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z}$ — натуральные и ${\displaystyle x,\;y,\;z>2}$ , то ${\displaystyle A,\;B,\;C}$ имеют общий простой делитель.
• Гипотеза Эрдёша . Если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинную арифметическую прогрессию .
• Насколько велика может быть сумма обратных величин последовательности натуральных чисел, в которой никакой элемент не равен сумме нескольких других различных элементов? (Эрдёш)
• Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1).
• Гипотеза жонглёра . Любая последовательность жонглёра достигает 1 . Последовательность жонглёра описывается рекурсивной формулой:

  ${\displaystyle a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{1/2}\right\rfloor ,&{\text{if}}\ a_{k}\ {\text{is even}};\\\\\left\lfloor a_{k}^{3/2}\right\rfloor ,&{\text{if}}\ a_{k}\ {\text{is odd}}.\end{cases}}}$

• Задача Брокара . Имеет ли уравнение ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$ решения в натуральных числах, кроме (4, 5), (5, 11) и (7, 71)?
• . Только числа 1, 6 и 120 являются одновременно треугольными и факториалами . В альтернативной формулировке сводится к решению уравнения ${\displaystyle 8\cdot n!+1=m^{2}}$ в натуральных числах.
• Конечно ли множество решений уравнения ${\displaystyle 2^{n}\equiv 3{\pmod {n}}?}$ В настоящее время известно только 5 решений .
• Верно ли утверждение, что квадрат всякого рационального числа представим в виде суммы четвёртых степеней четырёх рациональных чисел?
• Проблема Варинга и её обобщения:
  • Конечно ли множество натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы 6 кубов неотрицательных целых чисел? Аналогичный вопрос стоит для сумм 5 и 4 кубов, а также для многих чисел слагаемых со степенями выше 4.
  • С какой точностью натуральное число можно представить суммой квадратов двух целых чисел?
• Проблема 196 . Существуют ли такие натуральные числа, которые в результате повторения операции «перевернуть и сложить», никогда не превратятся в палиндром ?
• Возможно ли представление любого целого числа в виде (алгебраической) суммы четырёх кубов?
  • неизвестно доказательство этого утверждения;
  • неизвестен пример числа, которое представить таким образом нельзя.
• Три из четырёх гипотез Поллока о фигурных числах .
• Существует ли точная четвёртая степень с суммой цифр, равной четырём?

См. также

• Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики

Примечания

Литература

• Иэн Стюарт . Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3 .
• Shanks, Daniel . Solved and Unsolved Problems in Number Theory. — 5th ed.. — New York: AMS Chelsea, 2002. — ISBN 978-0-8218-2824-3 .

Ссылки

• (англ.)
• (англ.)
• (англ.)
• (англ.)