В теории чисел Уникальное простое число — это определенный вид простых чисел . Простое число p ≠ 2, 5 называется уникальным, если не существует другого простого q , такого что длина периода разложения в десятичную дробь обратной величины , 1⁄ p , равна длине периода 1⁄ q . Уникальные простые впервые были описаны Самюэлем Йетсом (Samuel Yates) в 1980.

Можно показать, что простое p является уникальным с периодом n тогда и только тогда , когда существует натуральное число c , такое что

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}=p^{c}}$ ,

где ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ — это n -ый круговой многочлен . В настоящее время известно более пятидесяти уникальных простых или возможно простых . Однако известно только двадцать три уникальных простых, меньших 10 ¹⁰⁰ . Таблица ниже показывает 23 уникальных простых, меньших 10 ¹⁰⁰ (последовательность в OEIS ) и их периоды (последовательность в OEIS ):

Простое число с периодом 294 похоже на число, обратное 7 (0.142857142857142857…)

Не приведенное в таблице 24-е уникальное простое число содержит 128 знаков и период длиной 320. Оно может быть записано как (9 ₃₂ 0 ₃₂ ) ₂ + 1, где индекс n означает n последовательных копий цифры или группы цифр, находящихся перед индексом.

Хотя уникальные простые числа редки, существует основывающаяся на изучении простых, состоящих из одной цифры , и возможно простых гипотеза о бесконечном числе уникальных простых (любой простой репьюнит уникален).

На 2010 год репьюнит (10 ²⁷⁰³⁴³ −1)/9 — наибольшее из известных возможно уникальных простых чисел.

В 1996 году наибольшим проверенным уникальным простым было (10 ¹¹³² + 1)/10001, или, используя использованную выше запись, (99990000) ₁₄₁ + 1. Его период равен 2264. Рекорд был с тех пор несколько раз улучшен. К 2010 году наибольшее проверенное уникальное простое число имело 10,081 знаков.

Ссылки

Примечания