Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов . Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона . Изучаются в средней школе в курсе алгебры .

Формулы для квадратов

• ${\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}$ — квадрат суммы или разности двух выражений
• ${\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}$ — квадрат суммы трёх выражений

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле :

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

Доказательство

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}$

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

${\displaystyle ba-ab=0}$

и остаётся

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце .

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b , то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

${\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}$ .

Чтобы это было равно ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ , мы должны иметь

${\displaystyle ba-ab=0}$

для всех пар a , b , поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов

• ${\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}$ - куб суммы (разности) двух чисел
• ${\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}$ - сумма (разность) кубов
• ${\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}$ - куб суммы

Формулы для четвёртой степени

• ${\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}$
• ${\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a\pm b)(a^{3}\mp a^{2}b+ab^{2}\mp b^{3})}$
• ${\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}$
• ${\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})}$

Формулы для пятой степени

• ${\displaystyle (a\pm b)^{5}=a^{5}\pm 5a^{4}b+10a^{3}b^{2}\pm 10a^{2}b^{3}+5ab^{4}\pm b^{5}}$
• ${\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=(a\pm b)(a^{4}\mp a^{3}b+a^{2}b^{2}\mp ab^{3}+b^{4})}$
• ${\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=\left(a\pm b\right)\left(a^{2}+{\frac {\mp 1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {\mp 1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)}$

Формулы для шестой степени

• ${\displaystyle (a\pm b)^{6}=a^{6}\pm 6a^{5}b+15a^{4}b^{2}\pm 20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}\pm 6ab^{5}+b^{6}}$
• ${\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a\pm b)(a^{5}\mp a^{4}b+a^{3}b^{2}\mp a^{2}b^{3}+ab^{4}\mp b^{5})}$
• ${\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2})}$
• ${\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {3}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {3}}ab+b^{2})}$

Формулы для седьмой степени

• ${\displaystyle (a\pm b)^{7}=a^{7}\pm 7a^{6}b+21a^{5}b^{2}\pm 35a^{4}b^{3}+35a^{3}b^{4}\pm 21a^{2}b^{5}+7ab^{6}\pm b^{7}}$
• ${\displaystyle a^{7}\pm b^{7}=(a\pm b)(a^{6}\mp a^{5}b+a^{4}b^{2}\mp a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}\mp ab^{5}+b^{6})}$
• ${\displaystyle a^{7}\pm b^{7}=(a\pm b)(a^{2}\mp (2\cos {\frac {\pi }{7}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {2\pi }{7}})ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {3\pi }{7}})ab+b^{2})}$

Формулы для восьмой степени

• ${\displaystyle (a\pm b)^{8}=a^{8}\pm 8a^{7}b+28a^{6}b^{2}\pm 56a^{5}b^{3}+70a^{4}b^{4}\pm 56a^{3}b^{5}+28a^{2}b^{6}\pm 8ab^{7}+b^{8}}$
• ${\displaystyle a^{8}-b^{8}=(a\pm b)(a^{7}\mp a^{6}b+a^{5}b^{2}\mp a^{4}b^{3}+a^{3}b^{4}\mp a^{2}b^{5}+ab^{6}\mp b^{7})}$
• ${\displaystyle a^{8}-b^{8}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})}$
• ${\displaystyle a^{8}+b^{8}=(a^{2}-\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}+\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})}$

Формулы для n -й степени

• ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}$ , где ${\displaystyle n\in N}$
• ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}-b^{n-1})}$ , где ${\displaystyle n}$ — чётное число
• ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...+a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})}$ , где ${\displaystyle n}$ — нечётное число

В комплексных числах

• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}$
• ${\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)\left(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)}$
• ${\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)}$
• ${\displaystyle a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i}{\sqrt {2}}}b\right)}$

Для произвольной чётной степени:

• ${\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\mp 1}}b)}$ , где ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mp 1}}}$ пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

• ${\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\pm 1}}b)}$ , где ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\pm 1}}}$ пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул

• ${\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}$ , где ${\displaystyle n\in N}$
• ${\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}$ , где ${\displaystyle n\in N}$

См. также

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Примечания

Литература

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.