Число Оре — натуральное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом . Понятие числа Оре введено Ойстином Оре в 1948 году . Первые несколько чисел Оре:

1 , 6 , 28 , 140 , 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18 600, 18 620, … .

Например, число Оре 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Их гармоническое среднее является целым числом:

${\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2.}$

Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их гармоническое среднее:

${\displaystyle {\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.}$

5 является целым числом, а значит, 140 является числом Оре.

Числа Оре и совершенные числа

Для любого целого числа ${\displaystyle M}$ произведение гармонического среднего и среднего арифметического его делителей равно самому числу ${\displaystyle M}$ , что непосредственно следует из определений. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является числом Оре с гармоническим средним делителей ${\displaystyle k}$ в том и только в том случае, когда среднее арифметическое делителей является частным от деления ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle k}$ .

Оре показал, что любое совершенное число является числом Оре. Так как сумма делителей совершенного числа ${\displaystyle M}$ в точности равна ${\displaystyle 2M}$ , среднее делителей равно ${\displaystyle M(2/\tau (M))}$ , где ${\displaystyle \tau (M)}$ означает число делителей числа ${\displaystyle M}$ . Для любого ${\displaystyle M}$ число ${\displaystyle \tau (M)}$ нечётно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M}$ является полным квадратом , в противном случае каждому делителю ${\displaystyle d}$ числа ${\displaystyle M}$ можно сопоставить другой делитель — ${\displaystyle M/d}$ . Но никакое совершенное число не может быть полным квадратом, это следует из известных свойств чётных совершенных чисел, а нечётные совершенные числа (если такие существуют) должны иметь множитель вида ${\displaystyle q^{\alpha }}$ , где ${\displaystyle \alpha \equiv 1{\pmod {4}}}$ . Таким образом, для совершенного числа ${\displaystyle M}$ число делителей ${\displaystyle \tau (M)}$ чётно и среднее делителей является произведением ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle 2/\tau (M)}$ . Таким образом, ${\displaystyle M}$ является числом Оре.

Оре высказал предположение, что не существует нечётных чисел Оре, кроме 1. Если гипотеза верна, то нечётных совершенных чисел не существует.

Границы и компьютерный поиск

Показано, что любое нечётное число Оре, большее 1, должно иметь степень простого делителя больше 10 ⁷ , а также, что любое такое число должно иметь по меньшей мере три различных простых делителя. Кроме того, установлено, что не существует нечётных чисел Оре, меньших 10 ²⁴ .

Предпринимались попытки получить с помощью компьютера список всех малых чисел Оре, в результате были найдены все числа Оре до 3.75×10 ¹⁰ и все числа, для которых гармоническое среднее не превышает 300.

Примечания

Литература

• Bogomolny, Alexander. (неопр.) . Дата обращения: 10 сентября 2006.

• Cohen, Graeme L. Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean // . — 1997. — Т. 66 . — С. 883–891 . — doi : .

• Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli. Odd harmonic numbers exceed 10 ²⁴ // Mathematics of Computation. — 2010. — Т. 79 , вып. 272 . — С. 2451 . — ISSN . — doi : . Опубликовано в электроном виде 9 апреля 2010.

• Goto, Takeshi. (неопр.) . Дата обращения: 10 сентября 2006.

• Richard K. Guy. . — 3rd. — Springer-Verlag , 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2 .

• Joseph B. Muskat. // Mathematics of Computation. — American Mathematical Society, 1966. — Т. 20 , вып. 93 . — С. 141–144 . — doi : . — JSTOR .

• Øystein Ore. // American Mathematical Monthly . — Mathematical Association of America, 1948. — Т. 55 . — С. 615–619 . — doi : . — JSTOR .

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .