Interested Article - Центральная симметрия
- 2021-08-06
- 1
Центра́льной симметри́ей относительно точки A называют преобразование пространства , переводящее точку X в такую точку X′ , что A — середина отрезка XX′ . Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через , в то время как обозначение можно перепутать с осевой симметрией . Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.
Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A . Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота , точнее, является поворотом на 180 градусов .
Векторная запись
-
Пусть
G
— оператор центральной симметрии, точка
A
задана радиус-вектором
, а преобразовываемая точка задается радиус-вектором
. Тогда имеет место следующая формула:
Связанные определения
- Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки , то называют центром симметрии этой фигуры, а сама фигура называется центрально-симметричной .
Свойства
- Центральная симметрия является движением (изометрией) .
-
В
n
-мерном пространстве если преобразование
R
является последовательным
отражением
относительно
n
взаимно перпендикулярных
гиперплоскостей
, то
R -
центральная симметрия относительно общей точки этих гиперплоскостей. Как следствие:
- В чётномерных пространствах центральная симметрия сохраняет ориентацию , а в нечётномерных — не сохраняет.
- Центральную симметрию можно представить также как гомотетию с центром A и коэффициентом −1 ( ).
-
Композиция
двух центральных симметрий —
параллельный перенос
на удвоенный вектор из первого центра во второй:
- В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией .
- На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром A представляет собой поворот на 180° с центром A ( ). Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию .
- Центральную симметрию в трёхмерном пространстве можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.
- В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в 4-мерном смысле, см. Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве ), проходящих через центр симметрии.
- У центрально-симметричной фигуры, либо один центр симметрии, либо их бесконечно много.
См. также
Литература
- Бобылёв Д. К. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
- Селиванов Д. Ф. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
- 2021-08-06
- 1