Теорема Турáна
даёт ответ на вопрос о максимальном количестве рёбер в
графе
без
полного
n-вершинного
подграфа
.
Впервые задачу о запрещённом подграфе поставил венгерский математик
Пал Туран
в
1941 году
.
Содержание
Формулировка
Обозначения
Обозначим через
полный n-вершинный граф.
Определим граф
с
вершинами следующим образом. Разобьём все вершины на
«почти равных» групп (то есть возьмём
групп по
вершине и
групп по
вершин, где
, здесь
— остаток от деления
на
) и соединим рёбрами все пары вершин из разных групп. Таким образом получим
-дольный граф.
Будем обозначать через
максимальное количество рёбер, которое может иметь граф с
вершинами, не содержащий подграфа,
изоморфного
.
Теорема
Среди всех графов на
вершинах, не содержащих подграфа
, максимальное количество рёбер имеет граф
. Если
, где
— остаток от деления
на
, то этот максимум равен
Замечания
При
основную формулу можно записать короче:
.
Доказательство
Доказательство можно провести, например, с помощью
математической индукции
по количеству вершин графа
.
Введем индукцию по числу вершин
в полном подграфе.
База
. Доказательство: Введем индукцию по числу вершин.
База
. Для данных случаев оценка очевидна.
Шаг: Пусть доказано для
. Докажем для
. Если в графе нет ребер то все доказано. Иначе выделим ребро. Заметим что к этому ребру из остальных вершин графа выходит не более одного ребра (иначе есть треугольник)
этих ребер не более
. Для остального графа применим предположение индукции. Откуда общее количество рёбер не более
. Что и требовалось.
База доказана.
Шаг. Пусть для
верно, докажем для
. Введем индукцию. База
. Для данных случаев утверждение очевидно. Шаг. Пусть для
верно, докажем для
. Если в графе нет полного графа на
вершинах воспользуемся предыдущим шагом (очевидно, что оценка будет лучше). Иначе выделим его. Из каждой из остальных вершин к нему выходит не более
ребер, то есть всего не более
. Следовательно, общее количество рёбер в графе не превышает
Что и требовалось. Шаг индукции доказан.
Вариации и обобщения
Доказательство теоремы Турана влечёт несколько более сильный результат:
для любого графа
не содержащего копию полного графа
найдётся
-дольный граф
с тем же множеством вершин, что и
и со степенью каждой вершины не меньше чему у
.
Литература
«Теория графов» О.Оре. 1980
Berge C. Graphs (second revised edition), North — Holland, Amsterdam — New York — Oxford, 1985.
Lovasz L. Combinatorial problems and exercises, Academiqi Kiado, Budapest, 1979.