В современной физике
электромагни́тный потенциа́л
обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся
4-вектором
(
1-формой
). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу
векторных полей
в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к
фундаментальным
бозонным
полям (например,
гравитационное поле
является в этом смысле не векторным, а
тензорным полем
).
Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего
или
, что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты
или
, причём индексом 0, как правило, обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье мы будем придерживаться первого обозначения.
В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.
В любой определенной инерциальной системе отсчёта электромагнитный потенциал
распадается
на
скалярный
(в трёхмерном пространстве) потенциал
и трехмерный
векторный
потенциал
; эти потенциалы
и
и есть те
скалярный
и
векторный
потенциалы
, которые используются в традиционной трёхмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении)
электростатики
и
магнитостатики
,
напряжённость электрического поля
выражается через
, называемый в этом случае
электростатическим потенциалом
, а
напряжённость магнитного поля
(
магнитная индукция
)
— только через
векторный потенциал
. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).
Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трёхмерных векторных обозначениях
:
где
— напряжённость электрического поля,
— магнитная индукция (или, что в случае вакуума в сущности то же самое, напряженность магнитного поля),
—
оператор набла
, причём
—
градиент
скалярного потенциала, а
—
ротор
векторного потенциала.
В несколько более современной четырёхмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение
тензора электромагнитного поля
через 4-вектор электромагнитного потенциала:
где
— тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты
.
Приведённое выражение является обобщением выражения ротора для случая четырёхмерного векторного поля.
При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты
преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством
преобразований Лоренца
.
С использованием электромагнитного потенциала можно записать добавку
к
действию
S
для заряженной частицы
, вызванную её взаимодействием с электромагнитным полем:
или
(первая форма удобна для вывода уравнений поля (с источниками), а вторая — для вывода уравнения движения заряженной частицы); здесь
— заряд частицы,
—
4-скорость
,
— дифференциал
собственного времени
(интервала вдоль траектории частицы, деленного на
),
— трёхмерная скорость,
— скорость света, а
— четырёхмерные пространственно-временные координаты частицы.
Физический смысл
Физический смысл четырёхмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы (с электрическим зарядом
q
) с электромагнитным полем этот потенциал даёт добавку в фазу
волновой функции
частицы:
,
или, иначе говоря, вклад в
действие
(формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя
, а в системе единиц, где
редуцированная постоянная Планка
обе формулы совпадают). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге интерференционных полос при наблюдении
интерференции
заряженных частиц (см., например,
эффект Ааронова — Бома
).
В данной записи использовано ковариантное представление электромагнитного потенциала в
сигнатуре
лоренцевой метрики
(+−−−), используемое и в других формулах статьи. Контравариантное представление
отличается от ковариантного в лоренцевой метрике (такой сигнатуры) лишь знаком трёх пространственных компонент. В представлении с мнимой временной компонентой (в формально евклидовой метрике) электромагнитный потенциал всегда записывается в одинаковом виде:
.
В статье статье рассматривается лишь поля в
вакууме
, поэтому напряженность магнитного поля и магнитная индукция в сущности не различаются (правда, в некоторых системах единиц, например, в
СИ
, они имеют разную размерность, но даже в таких единицах в вакууме отличаются друг от друга лишь постоянным множителем).
В зависимости от используемой системы физических единиц в эти формулы, а также в формулы, связывающие четырёхмерный электромагнитный потенциал с трёхмерными векторным потенциалом и скалярным потенциалом, могут входить различные размерные постоянный коэффициенты; мы для простоты приводим формулы в системе единиц, где
скорость света
равна единице, и все скорости безразмерны.
Имеется в виду точечная частица без магнитного момента.