Фактормножество — множество всех классов эквивалентности для заданного отношения эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ на множестве ${\displaystyle X}$ , обозначается ${\displaystyle X/\!\sim }$ . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией .

Отображение из ${\displaystyle X}$ в множество классов эквивалентности ${\displaystyle X/\!\sim }$ называется факторотображением . Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие ${\displaystyle \forall x,\;y\in X}$ , либо не пересекаются, либо совпадают полностью. Для любого элемента ${\displaystyle x\in X}$ однозначно определён некоторый класс из ${\displaystyle X/\!\sim }$ , иными словами существует сюръективное отображение из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X/\!\sim }$ . Класс, содержащий ${\displaystyle x}$ , иногда обозначают ${\displaystyle [x]}$ .

Если множество снабжено структурой, то часто отображение ${\displaystyle f\colon X\to X/\!\sim }$ можно использовать, чтобы снабдить фактормножество ${\displaystyle X/\!\sim }$ той же структурой; например классы эквивалентности топологического пространства можно снабдить индуцированной топологией ( факторпространство ), классы эквивалентности алгебраической системы снабдить теми же операциями и отношениями ( факторсистема ).

Применения и примеры

Если задано сюръективное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ , тогда на множестве ${\displaystyle X}$ задаётся отношение ${\displaystyle x\sim x'\iff f(x)=f(x')}$ . Можно рассмотреть фактормножество ${\displaystyle X/\!\sim }$ . Функция ${\displaystyle f}$ задаёт естественное взаимно-однозначное соответствие между ${\displaystyle X/\!\sim }$ и ${\displaystyle Y}$ .

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Проективную плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$ можно определить как факторпространство двумерной сферы , задав отношение эквивалентности ${\displaystyle (x,\;y,\;z)\sim (-x,\;-y,\;-z)}$ .

Бутылку Клейна можно представить как факторпространство цилиндра ${\displaystyle S^{1}\times [0,\;1]}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle (\varphi ,\;0)\sim (-\varphi ,\;1)}$ ( ${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\;\pi ]}$ — угловая координата на окружности).

Свойства

Факторотображения q : X → Y описывается среди сюръективных отображений следующим свойством: если Z является каким-либо топологическим пространством и f : Y → Z является какой-либо функцией, то f является непрерывным тогда и только тогда, когда f ∘ q непрерывна.

Факторпространство X /~ вместе с факторотображением q : X → X /~ описывается следующим универсальным свойством : если g : X → Z является непрерывным отображением, таким что если из a ~ b следует g ( a ) = g ( b ) для всех a и b из X , то существует единственное отображение f : X /~ → Z , такое что g = f ∘ q . Мы говорим, что g спускается до факторотображения .

Непрерывные отображения, определённые на X /~ поэтому являются в точности такими отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определённых на X , которые удовлетворяют отношению эквивалентности (в смысле, что они переводят эквивалентные элементы в один и тот же образ). Этот критерий обширно используется при изучении факторпространств.

Если дана непрерывная сюръекция q : X → Y , полезно иметь критерий, по которому можно определить, является ли q факторотображением. Два достаточных условия — q является или . Заметим, что эти условия являются лишь достаточными , но не необходимыми . Легко построить примеры факторотображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп факторотображение является открытым.

Совместимость с другими топологическими понятиями

• Отделимость
  • В общем случае факторпространства плохо себя ведут относительно аксиом отделимости. Свойства отделимости множества X не обязательно наследуются при X /~ и X /~ могут иметь свойства отделимости, не существующие в X .
  • X /~ является тогда и только тогда, когда любой класс эквивалентности ~ замкнут в X .
  • Если факторотображение , то X /~ является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда ~ является замкнутым подмножеством произведения пространств X × X .
• Связность
  • Если пространство связно или линейно связно , то таковыми являются все его факторпространства.
  • Факторпространство односвязного или стягиваемого пространства не обязательно будет обладать этими свойствами.
• Компактность
  • Если пространство компактно, таковыми будут и все его факторпространства.
  • Факторпространство локально компактного пространства не обязательно локально компактно.
• Размерность пространства
  • Топологическая размерность факторпространства может быть больше (а может быть и меньше) размерности исходного пространства; заполняющие пространство кривые дают такие примеры.

Для улучшения этой статьи желательно : Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии . Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное . Оформить математические формулы После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.