Interested Article - Конечномерное пространство

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство , в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства .

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым . Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным . Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику .

Свойства конечномерных пространств

Всякий элемент конечномерного пространства представим единственным образом в виде

где поле (часто или ), над которым рассматривается пространство , — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта .

  • Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства .
  • Пусть — конечномерное пространство и линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса .
  • Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
  • В любом конечномерном пространстве над полем можно ввести скалярное произведение . Например, в пространстве с фиксированным базисом, размерности , можно ввести скалярное произведение по правилу:
    , где — компоненты векторов и соответственно.
    Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем можно ввести норму и метрику . Как следствие, можно получить что:
    • рефлексивное пространство .
    • Пространство , сопряжённое к некоторому конечномерному пространству , конечномерно и его размерность совпадает с размерностью .
    • Для любого подпространства конечномерного пространства существует подпространство такое, что и разлагается в прямую сумму и , .
  • В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
  • Все нормы в конечномерном пространстве над полем эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
  • Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы .
  • Пространство над полем является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор является вполне непрерывным .
  • Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над обратимый вполне непрерывный оператор .
  • Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в множество предкомпактно.
  • Всякий линейный оператор , определённый в конечномерном пространстве является непрерывным и даже вполне непрерывным .
  • В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

Примеры

Более общий случай — пространства размерности n . Норму в них обычно задают одним из следующих способов ( ):

или

Если ввести норму и скалярное произведение то пространство будет евклидовым.

  • — пространство всех многочленов степени не выше . Размерность этого пространства . Многочлены образуют в нём базис.
  • Пусть — произвольное линейное пространство и пусть некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка , натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.

См. также

Примечания

  1. Это факт можно получить как при помощи теоремы Рисса-Фреше , так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.
  2. часто называют ортогональным дополнением к

Литература

Источник —

Same as Конечномерное пространство